Funktion in Taylor-Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Benützen Sie bekannte Reihentwicklungen, um die Taylor-Reihe der folgenden Funktion f(x)= sinh(2x) + ln( 1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2}) [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] zu gewinnen. |
Hallo,
wieder mal eine Frage von mir. Also ich komme bei der Aufgabe einfach auf keinen grünen Zweig.
Ich habe die Beziehung:
sinh(2x) = [mm] \bruch{e^{2x}-e^{-2x}}{2} [/mm] verwendent
und habe die ersten 3 Ableitungen der Funktion gemacht, und geschaut ob ich irgendwelche Periodizitäten erkennen kann um die Taylor-Reihe zum entwickeln :x . Leider Fehlanzeige.
Bitte um Hilfe :)
LG, Andi
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> Benützen Sie bekannte Reihentwicklungen, um die
> Taylor-Reihe der folgenden Funktion $\ f(x)\ =\ [mm] sinh(2\,x) [/mm] + ln( [mm] 1+\bruch{x^{2}}{2})$ [/mm]
> an der Stelle [mm]x_{0}=0[/mm] zu gewinnen.
> Hallo,
>
> wieder mal eine Frage von mir. Also ich komme bei der
> Aufgabe einfach auf keinen grünen Zweig.
>
> Ich habe die Beziehung:
>
> sinh(2x) = [mm]\bruch{e^{2x}-e^{-2x}}{2}[/mm] verwendent
>
> und habe die ersten 3 Ableitungen der Funktion gemacht, und
> geschaut ob ich irgendwelche Periodizitäten erkennen kann
> um die Taylor-Reihe zum entwickeln :x . Leider
> Fehlanzeige.
>
> Bitte um Hilfe :)
>
> LG, Andi
Mit den "bekannten Taylorreihen" sind wohl jene für
sinh(z) und ln(1+u) gemeint. Wenn du die nimmst und
dann z durch [mm] 2\,x [/mm] sowie u durch [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] ersetzt, bist du
ganz rasch am Ziel.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Also, ich habe mal die (unserer Formelsammlung) bekannten Potenzreihen von sinh(x) und ln(1+u) nachgeschlagen und umgewandelt:
Daraus ergibt sich:
[mm] \sinh(2\,x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
und für
[mm] \ln( 1+\bruch{x^{2}}{2}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}*(\bruch{x^{2}}{2})^{k}
[/mm]
ich glaub ich steh grad ein bisschen auf der Leitung --> sitze schon den ganzen Tag ;) .. Mir geht grad nicht ganz ein wie ich von hier aus, auf die Taylor-Reihe kommen soll, bzw wenn ich die beiden Reihen ableite, erkenne ich auch keine Gemeinsamkeiten. Muss ich sie einfach zusammenaddieren und dann ableiten? Muss ich beim Zusammenaddieren die unterschiedlichen Startwerte beachten?
Tut mir leid, wenn ich mich blöd anstelle, wir haben mit Reihen nicht wirklich viel gemacht.
Lg,Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>
> Also, ich habe mal die (unserer Formelsammlung) bekannten
> Potenzreihen von sinh(x) und ln(1+u) nachgeschlagen und
> umgewandelt:
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\sinh(2\,x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> und für
>
> [mm]\ln( 1+\bruch{x^{2}}{2})[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}*(\bruch{x^{2}}{2})^{k}[/mm]
>
> ich glaub ich steh grad ein bisschen auf der Leitung -->
> sitze schon den ganzen Tag ;) .. Mir geht grad nicht ganz
> ein wie ich von hier aus, auf die Taylor-Reihe kommen soll,
> bzw wenn ich die beiden Reihen ableite, erkenne ich auch
> keine Gemeinsamkeiten.
> Muss ich sie einfach zusammenaddieren
Genau
> und dann ableiten?
Wozu ?
> Muss ich beim
> Zusammenaddieren die unterschiedlichen Startwerte
> beachten?
Ja
FRED
>
> Tut mir leid, wenn ich mich blöd anstelle, wir haben mit
> Reihen nicht wirklich viel gemacht.
>
> Lg,Andi
>
>
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Hi,
sooo, danke erstmal für die erneute Hilfe:
Ich komme nach dem Zusammenaddieren und angleichen der Grenzen auf:
[mm] -\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{k-1}}{k}\cdot{}(\bruch{x^{2}}{2})^{k})
[/mm]
Aber wie Soll ich von hier aus, auf die allgemeine Form der Taylor-Reihe kommen? :x
Lg, andi
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> Ich komme nach dem Zusammenaddieren und angleichen der
> Grenzen auf:
>
> [mm]-\bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
> + [mm]\bruch{(-1)^{k-1}}{k}\cdot{}(\bruch{x^{2}}{2})^{k})[/mm]
>
> Aber wie soll ich von hier aus, auf die allgemeine Form der
> Taylor-Reihe kommen? :x
>
> Lg, andi
Hallo andi,
ich verstehe nicht, wie der Term [mm] -\bruch{1}{k} [/mm] vor der
Summe zustande gekommen ist. k=?
Um dir wirklich einen Überblick über die Reihe zu
verschaffen, lohnt es sich, zB. einmal die ersten
8 Glieder konkret auszurechnen. Dabei ist ange-
nehm, dass sich die beiden Teilsummen nicht wirk-
lich "vermischen". Danach würde ich eine Darstellung
in folgender Form geben:
[mm] T(x)=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*x^k
[/mm]
wobei [mm] a_k=\begin{cases} ....... & \mbox{für ungerade k} \\ ....... & \mbox{für gerade k} \end{cases}
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hi,
sorry, ich glaub wir(unsere übungsgruppe) sind einfach zu doof für sowas x)
wir wissen eigentlich nicht genau, was "er" ;) von uns will.
danke für die erneute hilfe :)
normale taylorreihenentwicklungen sind kein problem, nur wir (es hat kein einziger von 28 leuten) wir wissen nicht wie wir diese 2 Reihen in eine taylor-reihe entwickeln sollen, also hier mal die ersten 4 glieder:
[mm] k_{0}: [/mm] 1
[mm] k_{1}: \bruch{8x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
[mm] k_{2}: \bruch{32x^{5}}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{4}}{8}
[/mm]
[mm] k_{3}: \bruch{128x^{7}}{7!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{6}}{16}
[/mm]
aber wie kommt man von hier auf die dazugehörige taylor-reihe?lg
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Ok :) super, danke! :)
Tut mir leid,dass ich immer so lange zum Zurückschreiben brauche, bin die letzten 2 Tage leicht im Stress ;)
Das Ganze ist mirjetzt so halbwegs klar, aaber eine Frage noch bitte. Ich weiß nicht genau inwieweit dieser Ausdruck jetzt was mit der Taylor Reihe zu tun hat, bis auf das dass die Taylorreihe natürlich auch eine Potenzreihe ist? Wir haben weder abgeleitet, oder sonst etwas.
Das ganze ist doch jetzt eine schreibweise aufgesplittet für gerade und ungerade [mm] a_{k} [/mm] .
Lg, Andi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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