Funktion in Prädikatenlogik < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 15.07.2010 | | Autor: | maaam |
| Aufgabe | | Drücken sie die Stetigkeit einer Funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] an der Stelle x als prädikatenlogische Formel aus. |
Hallo,
ich habe einen Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter.
meine Lösung ist:
∀x ∈ [mm] \IR-->y [/mm] ∈ [mm] \IR [/mm] mit f(x)=y
Irgendwie finde ich das aber noch komisch. Und bei dem Rest graut es mir jetzt schon.
Könnte mir das bitte jemand bestätigen, oder sagen, wo der Fehler liegt?
Danke und Gruß
Matze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 15.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Drücken sie die Stetigkeit einer Funktion f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
> an der Stelle x als prädikatenlogische Formel aus.
> Hallo,
> ich habe einen Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter.
>
>
> meine Lösung ist:
> ∀x ∈ [mm]\IR-->y[/mm] ∈ [mm]\IR[/mm] mit f(x)=y
>
> Irgendwie finde ich das aber noch komisch. Und bei dem Rest
> graut es mir jetzt schon.
>
> Könnte mir das bitte jemand bestätigen,
leider nicht. Denn das hat nichts mit Stetigkeit an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] zu tun, s.u..
> oder sagen, wo der Fehler liegt?
Ja, da steht an keiner Stelle etwas über Stetigkeit (außerdem sollte die nur an der Stelle [mm] $x\,,$ [/mm] nicht an allen Stellen [mm] $x\,$ [/mm] ausgedrückt werden).
Z.B. erfüllt (die an jeder Stelle unstetige Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$)
[/mm]
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$$
[/mm]
Deine Bedingung.
Und Deine Forderung ist zudem unnötig und gilt für eine jede Funktion [mm] $g\,: \IR \to \IR$, [/mm] denn weil [mm] $g\,$ [/mm] eine Funktion ist, existiert zu jedem [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs von [mm] $g\,,$ [/mm] also zu jedem $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] sogar genau ein [mm] $y\,$ [/mm] des Zielbereichs (der hier auch [mm] $\IR$ [/mm] ist) mit [mm] $g(x)=y\,.$
[/mm]
Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] bedeutet:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ [mm] ($\delta=\delta(x,\epsilon)\,,$ [/mm] d.h. [mm] $\delta$ [/mm] darf und wird i.a. von [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängen), so dass aus $|r-x| < [mm] \delta$ [/mm] schon [mm] $|f(r)-f(x)|<\epsilon$ [/mm] folgt.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Do 15.07.2010 | | Autor: | maaam |
Danke für deine Erläuterung Marcel.
Ich habe verstanden, worauf du hinaus möchtest, aber wie formuliere ich das aus? Leider fehlt mir da noch der rote Faden. Versteh irgendwie noch nicht so recht, wie ich es ausdrüken muss.
Gruß
Matze
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Was willst du ausdrücken? Stetigkeit?
[mm] $f:\Omega\subset \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $\exists x\in \Omega\ \! \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta_{x,\varepsilon} [/mm] >0 [mm] \forall r\in \Omega: [/mm] d( x,r ) < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] d( f(x),f(r)) < [mm] \varepsilon [/mm] $
Wenn ich dich richtig verstanden habe möchtest du den Wortlaut in die Prädikatenlogik umsetzen. Dann schreib doch statt "für alle" [mm] $\forall$ [/mm] und statt existiert ein [mm] $\exists$
[/mm]
"Stetigkeit von $ [mm] f\, [/mm] $ an der Stelle $ [mm] x\, [/mm] $ bedeutet:
Zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ existiert ein $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ , sodass für alle r aus dem Definitionsbereich gilt ,dass aus $ |r-x| < [mm] \delta [/mm] $ folgt $ [mm] |f(r)-f(x)|<\varepsilon [/mm] $ . "
[mm] $f:\Omega\subset \IR \to \IR$
[/mm]
Stetigkeit in x
$ [mm] \red{\forall} \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \green{\exists} \delta_{x,\varepsilon} [/mm] >0 [mm] \blue{\forall} r\in \Omega: [/mm] d( x,r ) < [mm] \delta \red{\Rightarrow} [/mm] d( f(x),f(r)) < [mm] \varepsilon [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was willst du ausdrücken? Stetigkeit?
> [mm]f:\Omega\subset \IR \to \IR[/mm]
> [mm]\exists x\in \Omega\ \! \forall \varepsilon > 0 \exists \delta_{x,\varepsilon} >0 \forall r\in \Omega: d( x,r ) < \delta \Rightarrow d( f(x),f(r)) < \varepsilon[/mm]
das, was da steht, ist nur eine Beschreibung für die Existenz (mindestens) eines Stetigkeitspunktes [mm] $x\,$ [/mm] bzgl [mm] $f\,.$ [/mm] Hier kann aber auch [mm] $\IR$ [/mm] mit einer anderen Metrik [mm] $d\,$ [/mm] versehen sein (das ist eine eingeschränkte Verallgemeinerung, denn in der Tat muss [mm] $\IR$ [/mm] bzgl. des Definitionsbereichs nicht die gleiche Metrik wie [mm] $\IR$ [/mm] bzgl. des Zielbereichs haben).
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 21.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Hallo,
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> > Was willst du ausdrücken? Stetigkeit?
> > [mm]f:\Omega\subset \IR \to \IR[/mm]
> > [mm]\exists x\in \Omega\ \! \forall \varepsilon > 0 \exists \delta_{x,\varepsilon} >0 \forall r\in \Omega: d( x,r ) < \delta \Rightarrow d( f(x),f(r)) < \varepsilon[/mm]
>
> das, was da steht, ist nur eine Beschreibung für die
> Existenz (mindestens) eines Stetigkeitspunktes [mm]x\,[/mm] bzgl
> [mm]f\,.[/mm] Hier kann aber auch [mm]\IR[/mm] mit einer anderen Metrik [mm]d\,[/mm]
> versehen sein (das ist eine eingeschränkte
> Verallgemeinerung, denn in der Tat muss [mm]\IR[/mm] bzgl. des
> Definitionsbereichs nicht die gleiche Metrik wie [mm]\IR[/mm] bzgl.
> des Zielbereichs haben).
>
> Beste Grüße,
> Marcel
Ok. Also dann so?
Seien (A,d) und [mm] (B,\tilde{d}) [/mm] Metrische Räume
[mm]f:\Omega\subset A \to B[/mm] heißt in x aus [mm] \Omega [/mm] stetig, falls
[mm] \forall \varepsilon > 0 \exists \delta_{x,\varepsilon} >0 \forall r\in \Omega: d( x,r ) < \delta \Rightarrow \tilde{d}( f(x),f(r)) < \varepsilon[/mm]
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