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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 26.10.2011 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Der Schmelzvorgang eines Schneeballs (zu jedem zeitpunkt als Kugel angenommen) wird durch
[mm] $\bruch{dV(t)}{dt}=-\lambda [/mm] *F(t) $
beschrieben [mm] (\lambda [/mm] ist eine Konstante, F die Oberfläche und V das Volumen; R der Radius).
Ermitteln Sie $R(t)$ für [mm] $t\ge [/mm] 0$, wenn der Wert [mm] $R(t_0)$ [/mm] zu irgendeinem Zeitpunkt [mm] $t_0>0$ [/mm] bekannt ist.
Lesen Sie ab, wie sich der Radius in gleichen zeitspannen verändert. |
Hallo zusammen!
Ich bin schon die ganze zeit am überlegen, wie ich diese (wahrscheinlich ziemlich einfache) Aufgabe löse.
In der ersten teilaufgabe sollte man die zeitliche Abhängigkeit vom Radius ermitteln, wenn der Anfangswert $R(0)$ bekannt ist.
Das habe ich gemacht:
[mm] $V(t)=\bruch{4}{3}\pi R(t)^3&
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{dV(t)}{dt}=4*\pi*R(t)^2*\bruch{dR(t)}{dt}$.
[/mm]
Mit [mm] $F(t)=4*\pi*R(t)^2$) [/mm] folgt:
[mm] $4*\pi*R(t)^2*\bruch{dR(t)}{dt}=-\lambda *4*\pi*R(t)^2$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{dR(t)}{dt}=-\lambda$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow R(t)=\integral_{}^{}{-\lambda dt}=-\lambda*t+C$
[/mm]
mit $C=R(0)$ (da $R(0)=C$ für $t=0$ bekannt ist).
Ich habe leider keine Idee wie ich jetzt die o.g. Aufgabe löse.
Meine Ideen führen zu nichts, habe z.B. aufgeschrieben, dass [mm] $C=\lambda*t_2§ [/mm] ist, wenn der Ball zum Zeitpunkt [mm] t_2 [/mm] geschmolzen ist.
Da [mm] t_2 [/mm] aber unbekannt ist, bringt das nicht viel. Man braucht ja irgendwie C, also die Anfangsgröße. Oder kann man das irgendwie mit bestimmer Integration lösen? (Man bedenke, dass davon ausgegangen werden soll, dass R(0) unbekannt ist.)
Vielen Dank für jeden Tipp, einen schönen Abend noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 27.10.2011 | | Autor: | stffn |
Naja.
Das hat mir nicht wirklich geholfen.
Ich hab ja nichtmal gegeben wann der Ball nur noch halb so groß ist.
Wär supper wenn ich noch von jemanden einen richtigen Tipp bekommen könnte.
Danke, schöne Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 27.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist nicht R(0) bekannt sondern [mm] R(t_0) [/mm] mit [mm] t_0>0!
[/mm]
deine Lösung ist sonst richtig
also allgemein [mm] R(t)=-\lambda*t+C [/mm] , C jetzt durch [mm] R(t_0) [/mm] bestimmen.
und jetzt: wie ändert sich R(t), von t1 bis t2 und von t3bis t4 wenn t2-t1=t4-t3 also gleichen Zeitspannen allgemein zwischen t und [mm] t+\Delta [/mm] t
gib dabei an, für welche t das in Abh von [mm] t_0 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] gilt!
Gruss leduart
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