Funktion des organischen Wachs < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Kendra |
Die Funktion
y=a*e hoch p/100*t
heißt die "Funktion des organischen Wachstums". Durch sie lassen sich viele Wachstumsvorgänge in der Natur beschreiben.
a ist der Anfangswert, y der Endwert nach der Zeit t.
p heißt Wachstumssatz, e ist eine irrationale Zahl. Rechnen Sie mit e=2,7183.
a) Der Holzbestand eines Waldes betrug vor 10 Jahren 6000 Festmeter und beträgt heute 9000 Festmeter. Berechnen Sie hieraus den Wachstumssatz p.
b) Nach welcher Zeit wird der Holzbestand auf 15000 Festmeter angewachsen sein?
Für a) habe ich bis jetzt folgendes geschrieben:
9000=6000*2,7183 hoch p/100 *10
Und für b) folgendes:
15000=9000*2,7183 hoch p/100*t
Das p in b) ist meiner Meinung nach ja das p, welches ich bei a) ausrechnen soll.
Nur leider weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll.
Habe wohl ein Brett vorm Kopf 
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
lg
Kendra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kendra!
> a) Der Holzbestand eines Waldes betrug vor 10 Jahren 6000
> Festmeter und beträgt heute 9000 Festmeter. Berechnen Sie
> hieraus den Wachstumssatz p.
>
> b) Nach welcher Zeit wird der Holzbestand auf 15000
> Festmeter angewachsen sein?
>
> Für a) habe ich bis jetzt folgendes geschrieben:
> 9000=6000*2,7183 hoch p/100 *10
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Der Ansatz stimmt!
Dein Problem ist also, diese Gleichung nach $p$ umzustellen??
$9000 \ = \ 6000 * [mm] e^{\bruch{p}{100}*10}$ [/mm] $| \ : 6000$
[mm] $\bruch{9000}{6000} [/mm] \ = \ 1,5 \ = \ [mm] e^{\bruch{p}{100}*10}$
[/mm]
Nun logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, d.h. wir wenden auf beiden Seiten die [mm] $\log$-Funktion [/mm] an.
Da wir hier eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ haben, bietet sich auch der entsprechende natürliche Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] an, der auch die Basis $e$ hat: [mm] $\ln(x) [/mm] \ := [mm] \log_e(x)$
[/mm]
Die [mm] $\ln$-funktion [/mm] und die $e$-Funktion heben sich genau gegenseitig auf, da sie einander Umkehrfunktionen sind (ähnlich: Quadrat- und Wurzel-Funktion).
[mm] $\ln(1,5) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(e^{\bruch{p}{100}*10}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{p}{100}*10 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{p}{10}$ [/mm] $| \ * 10$
$p \ = \ 10 * [mm] \ln(1,5) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 4,0547$
> Und für b) folgendes:
> 15000=9000*2,7183 hoch p/100*t
>
> Das p in b) ist meiner Meinung nach ja das p, welches ich
> bei a) ausrechnen soll.
Ganz genau.
Anschließend mußt Du dann nach der Variable $t$ umstellen.
Das geht genauso wie für $p$ (oben gezeigt).
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Kendra |
Hallo Loddar!
Vielen Dank für deine Hilfe, damit werde ich die Aufgabe bestimmt lösen können.
Lg
Kendra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Kendra |
Hallo Loddar!
Mein Dank war wohl doch etwas zu voreilig
Leider bekomme ich es nicht richtig hin, die Aufgabe nach t umzustellen.
Ich habe folgendes geschrieben:
15000=9000*2,7183 hoch 4,0547/100*t
15000/9000=1 2/3=2,7183 hoch 4,0547/100*t
ln(x)=log2,7183(x)
ln(1 2/3)=ln(2,7183 hoch 4,0547/100*t)=0,040547*t
Da ist doch irgendwo der Wurm drin, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kendra!
> Mein Dank war wohl doch etwas zu voreilig
Kein Problem ...
> Ich habe folgendes geschrieben:
> 15000=9000*2,7183 hoch 4,0547/100*t
> 15000/9000=1 2/3=2,7183 hoch 4,0547/100*t
> ln(x)=log2,7183(x)
> ln(1 2/3)=ln(2,7183 hoch 4,0547/100*t)=0,040547*t
Die Umformungen waren alle richtig.
Einen Fehler machst Du beim Ansatz:
Unter Aufgabe a.) haben wir doch unsere Funktionsvorschrift ermittelt, die da lautet:
$y(t) \ = \ a * [mm] e^{\bruch{p}{100}*t} [/mm] \ = \ [mm] \red{6000} [/mm] * [mm] e^{\bruch{4,0547}{100}*t} [/mm] \ = \ [mm] \red{6000} [/mm] * [mm] e^{0,040547*t}$
[/mm]
Du mußt also den Wert für $a$ auch in Aufgabe b.) beibehalten: $a \ = \ 6000$ !!
Damit bezeiht sich dann auch Deine Jahresangabe ($t$) auf das Jahr 1995 (= 2005 - 10) ...
Also lautet Dein Ansatz für Aufgabe b.) :
$15.000 \ = \ 6.000 * [mm] e^{0,040547*t}$
[/mm]
Klar(er) nun ??
Loddar
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