Funktion als Potenzreihe entw. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 03.11.2011 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Geben Sie für die Funktion f(x)= [mm] \frac{x}{1+x^2} [/mm] eine Potenzreihenentwicklung für [mm] x_0 [/mm] = 0. |
Hallo,
ich habe im Rahmen der Lösung von Differentialgleichungen mit Potenzreihenansätzen noch ein paar solche Funktionen als Potenzreihen zu entwickeln. Aber wenn ich es mit einer verstanden habe, kriege ich den Rest vielleicht alleine hin. Also die Frage: Wie mache ich aus f eine Potenzreihe? (Es wäre schön, wenn dabei auch die prinzipielle Vorgehensweise mir klar werden würde, weil ich's gerne verstehen würde und weil noch ein paar andere Funktionen zu behandeln sind...)
Danke, Limaros
|
|
| |
|
> Geben Sie für die Funktion f(x)= [mm]\frac{x}{1+x^2}[/mm] eine
> Potenzreihenentwicklung für [mm]x_0[/mm] = 0.
> Hallo,
> ich habe im Rahmen der Lösung von Differentialgleichungen
> mit Potenzreihenansätzen noch ein paar solche Funktionen
> als Potenzreihen zu entwickeln. Aber wenn ich es mit einer
> verstanden habe, kriege ich den Rest vielleicht alleine
> hin. Also die Frage: Wie mache ich aus f eine Potenzreihe?
> (Es wäre schön, wenn dabei auch die prinzipielle
> Vorgehensweise mir klar werden würde, weil ich's gerne
> verstehen würde und weil noch ein paar andere Funktionen
> zu behandeln sind...)
>
> Danke, Limaros
Der allgemeine Ansatz ist die Taylorreihe
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+f''(x_0)*(x-x_0)^2/2+...
[/mm]
In einigen Fällen lässt sich die Bestimmung der Ableitungen umgehen, wenn man das Problem auf eine schon bekannte Potenzreihe zurückführen kann, so im obigen Beispiel:
[mm] f(x)=x*\frac{1}{1-(-x^2)}, [/mm] was auf eine geometrische Reihe [mm] \sum q^n [/mm] mit [mm] q=-x^2 [/mm] führt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Limaros |
Hallo,
ja, danke, das hat geholfen, insbesondere das mit der geometrischen Reihe hatte ich nicht gesehen.
|
|
|
|
