Funktion Min/Max < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 02.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgende Funktion mit einer Nebenbedingung gegeben und soll die Lage und Typ( Min/Max) Extrema ermitteln
f(x,y)=xy Nebenbedingung: [mm] 6x^2+8xy+6y^2=5
[/mm]
Ich hatte vor dies mit Lagrange'scher Mulitplikatoren zu lösen:
[mm] L(x,y,\lambda)=xy+\lambda (6x^2+8xy+6y^2-5)
[/mm]
[mm] Lx=y+12x\lambda+8y\lambda
[/mm]
[mm] Ly=x+8x\lambda+12y\lambda
[/mm]
[mm] L\lambda=6x^2+8xy+6y^2-5
[/mm]
Jetzt muss ich mir ja aus diesen 3 Gleichungen x,y und [mm] \lamda [/mm] herausformen.
Wenn ich [mm] y=-12x\lambda-8y\lambda [/mm] nach y umstelle erhalte ich
[mm] y=\bruch{-1,5\lambda x}{\lambda+\bruch{1}{8}}
[/mm]
Diesen Audruck eingesetzt in die 2 Gleichung
[mm] x=-8x\lambda -\bruch{18\lambda^2 x}{\lambda +\bruch{1}{8}}
[/mm]
Wenn ich nun diesen Ausdruck nach [mm] \lambda [/mm] umstelle bekomme ich falsche Lösungen heraus.
Wolfram Alpha gibt mir hier für [mm] \lambda [/mm] 1 =- [mm] \bruch{1}{26}-\bruch{3i}{52} [/mm] und für [mm] \lambda [/mm] 2 = - [mm] \bruch{1}{26}+\bruch{3i}{52}
[/mm]
Ist meine Vorgehensweise bis hier überhaupt richtig und wie komme ich weiter auf meine richtigen Lösungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 02.05.2014 | | Autor: | wauwau |
> [mm]L(x,y,\lambda)=xy+\lambda (6x^2+8xy+6y^2-5)[/mm]
>
> [mm]Lx=y+12x\lambda+8y\lambda = 0[/mm]
> [mm]Ly=x+8x\lambda+12y\lambda = 0[/mm]
> [mm]L\lambda=6x^2+8xy+6y^2-5[/mm]
>
[mm] $0=Lx+Ly=x+y+20x\lambda+20y\lambda=(x+y)(1+20\lambda)$
[/mm]
[mm] $x+y\not=0$ [/mm] ergibt [mm] $0=1+20\lambda$ [/mm] oder [mm] $\lambda=-\frac{1}{20}$
[/mm]
was, eingesetzt in Lx wiederum zu $x=y$ führt
Dies in die Nebenbedingung eingesetzt ergibt [mm] $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ [/mm] bzw [mm] $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ [/mm] als Lösungen
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