Funktion Lösen u. Skizzieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{x^4-3x^3+2x^2+x-1}{x^2-3x+2}
[/mm]
a) Leiten Sie die Linearfaktorzerlegung des Zählers und des Nenners der Funktion f her.
b)Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f) sowie alle Nullstellen, Definitionslücken und Polstellen der Funktion f mit Angabe der jeweiligen Vielfachheit.
c)Bestimmen Sie die asymptotische Kurve [mm] y_a [/mm] der Funktion f und untersuchen Sie das verhalten der Funktion f im Unendlichen.
d)Geben Sie die Intervalle auf der x-Achse an, für deren x-Werte die Funktion f positiv bzw.negativ ist.
e)Fertigen Sie unter Verwendung Ihrer Ergebnisse aus a) bis d) eine Skizze der Funktion f und ihrer asymptotische Kurve [mm] y_a [/mm] an. Legen Sie hierfür keine Wertetabelle an, sondern berechnen Sie neben Ihren Ergebnissen als zusätzlichen Punkt für den Graph der Funktion f nur noch Funktionswert f(0). |
Ich kann von a) bis c) sicher Lösen nur zur Teilaufgabe d) bin ich mir nicht so sicher wie ich es mathematisch korrekt lösen kann. Meine Idee ist :
f(x)>0 = (1; [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2}] [/mm] da die x-werte in diesem intervall positiv sind.
Bei aufgabe e) verstehe ich nicht warum der Graph im Obern bereich eine Weiter Parabel besitzt die sich an die polstelle und asymptote ins unendliche schmiegt.
Meine Lösungen:
a) Linearfaktorzerlegung
Zähler: durch polynomdivision erhalte ich (x-1)*(x-1)*(x- [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2})*(x- \bruch{1- \wurzel{5}}{2})
[/mm]
Nenner: (x-2)*(x-1)
b)
Def.Lücke: x = 1 einfache Lücke
Polstelle: x = 2 einfache Polstelle
Nullstelle: [mm] x_1= \bruch{1+ \wurzel{5}}{2} [/mm] einfache N-Stelle
[mm] x_2= \bruch{1- \wurzel{5}}{2} [/mm] einfache N-Stelle
D(f)= [mm] \IR [/mm] \ {1}
c)
[mm] y_a [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^4-3x^3+2x^2+x-1}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} x^2
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
Word-Life
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
> f(x)= [mm]\bruch{x^4-3x^3+2x^2+x-1}{x^2-3x+2}[/mm]
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> a) Leiten Sie die Linearfaktorzerlegung des Zählers und
> des Nenners der Funktion f her.
> b)Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f) sowie alle
> Nullstellen, Definitionslücken und Polstellen der Funktion
> f mit Angabe der jeweiligen Vielfachheit.
> c)Bestimmen Sie die asymptotische Kurve [mm]y_a[/mm] der Funktion f
> und untersuchen Sie das verhalten der Funktion f im
> Unendlichen.
> d)Geben Sie die Intervalle auf der x-Achse an, für deren
> x-Werte die Funktion f positiv bzw.negativ ist.
> e)Fertigen Sie unter Verwendung Ihrer Ergebnisse aus a)
> bis d) eine Skizze der Funktion f und ihrer asymptotische
> Kurve [mm]y_a[/mm] an. Legen Sie hierfür keine Wertetabelle an,
> sondern berechnen Sie neben Ihren Ergebnissen als
> zusätzlichen Punkt für den Graph der Funktion f nur noch
> Funktionswert f(0).
> Ich kann von a) bis c) sicher Lösen nur zur Teilaufgabe
> d) bin ich mir nicht so sicher wie ich es mathematisch
> korrekt lösen kann. Meine Idee ist :
> f(x)>0 = (1; [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}][/mm] da die x-werte in
> diesem intervall positiv sind.
> Bei aufgabe e) verstehe ich nicht warum der Graph im Obern
> bereich eine Weiter Parabel besitzt die sich an die
> polstelle und asymptote ins unendliche schmiegt.
>
> Meine Lösungen:
>
> a) Linearfaktorzerlegung
>
> Zähler: durch polynomdivision erhalte ich (x-1)*(x-1)*(x-
> [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})*(x- \bruch{1- \wurzel{5}}{2})[/mm]
>
> Nenner: (x-2)*(x-1)
>
> b)
> Def.Lücke: x = 1 einfache Lücke
>
> Polstelle: x = 2 einfache Polstelle
>
> Nullstelle: [mm]x_1= \bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] einfache
> N-Stelle
>
> [mm]x_2= \bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm] einfache N-Stelle
>
> D(f)= [mm]\IR[/mm] \ {1}
>
> c)
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> [mm]y_a[/mm] = [mm]x^2[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^4-3x^3+2x^2+x-1}{x^2-3x+2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty} x^2[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> MfG
> Word-Life
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Hallo,
nach dem Kürzen von (x-1) hat der Term (ich habe ohne Nachprüfung deine Werte übernommen) die Form [mm] \bruch{(x-1)*(x-
\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})*(x- \bruch{1- \wurzel{5}}{2})}{x-2}
[/mm]
Die Funktionswerte sind positiv, wenn Zähler und Nenner beide positiv oder beide negativ sind.
Fall 1: Nenner positiv, also x>2. Für x>2 ist x-1 positiv, (x- [mm] \bruch{1- \wurzel{5}}{2}) [/mm] auch positiv und
(x- [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2}) [/mm] ist zwischen x=2 und [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2} [/mm] negativ,
aber für [mm] x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2} [/mm] positiv.
Der Gesamtbruch ist somit positiv für [mm] x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}
[/mm]
Fall 2: Nenner negativ, also x<2.
Grase jetzt für alle x<2 den Zähler ab und schaue, wo er positiv und wo negativ ist (dieses Verhalten kann sich nur an den Nullstellen des Zählers ändern).
Gruß Abakus
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> Die Funktionswerte sind positiv, wenn Zähler und Nenner
> beide positiv oder beide negativ sind.
> Fall 1: Nenner positiv, also x>2. Für x>2 ist x-1
> positiv, (x- [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2})[/mm] auch positiv und
> (x- [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})[/mm] ist zwischen x=2 und
> [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] negativ,
> aber für [mm]x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] positiv.
> Der Gesamtbruch ist somit positiv für [mm]x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> Fall 2: Nenner negativ, also x<2.
> Grase jetzt für alle x<2 den Zähler ab und schaue, wo er
> positiv und wo negativ ist (dieses Verhalten kann sich nur
> an den Nullstellen des Zählers ändern).
> Gruß Abakus
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort.
Ich habe leider noch ein Problem dabei.
f(x)<0: (negativ)
Nenner:
x-2<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<2
Zähler:
x-1<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<1
x- [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2} [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] x< [mm] \bruch{1+ \wurzel{5}}{2}
[/mm]
x- [mm] \bruch{1- \wurzel{5}}{2} [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] x< [mm] \bruch{1- \wurzel{5}}{2}
[/mm]
und hier ist mein Problem da müsste sich doch das Ungleichheitszeichen umdrehen sonst müsste der Graph für alle x-Werte x < [mm] \bruch{1- \wurzel{5}}{2} [/mm] negativ sein aber der graph wird an der stelle [mm] \bruch{1- \wurzel{5}}{2} [/mm] für alle x-Werte positiv.
Ich verstehe es nicht =( .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 22.01.2010 | | Autor: | abakus |
> > Die Funktionswerte sind positiv, wenn Zähler und Nenner
> > beide positiv oder beide negativ sind.
> > Fall 1: Nenner positiv, also x>2. Für x>2 ist x-1
> > positiv, (x- [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2})[/mm] auch positiv und
> > (x- [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})[/mm] ist zwischen x=2 und
> > [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] negativ,
> > aber für [mm]x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] positiv.
> > Der Gesamtbruch ist somit positiv für [mm]x>\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> >
> > Fall 2: Nenner negativ, also x<2.
> > Grase jetzt für alle x<2 den Zähler ab und schaue, wo
> er
> > positiv und wo negativ ist (dieses Verhalten kann sich nur
> > an den Nullstellen des Zählers ändern).
> > Gruß Abakus
>
> Hallo,
> erstmal danke für die schnelle Antwort.
> Ich habe leider noch ein Problem dabei.
>
> f(x)<0: (negativ)
>
> Nenner:
> x-2<0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<2
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> Zähler:
> x-1<0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<1
>
> x- [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] <0 [mm]\Rightarrow[/mm] x< [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm]
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> x- [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm] <0 [mm]\Rightarrow[/mm] x< [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm]
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> und hier ist mein Problem da müsste sich doch das
> Ungleichheitszeichen umdrehen sonst müsste der Graph für
> alle x-Werte x < [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm] negativ sein
> aber der graph wird an der stelle [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm]
> für alle x-Werte positiv.
Vergiss nicht, dass wir jetzt ausschließlich im Bereich x<2 operieren.
Da ist der Term x-1 zwischen 2 und 1 noch positiv, unterhalb von 1 negativ.
Der Term x- [mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm] ist zwischen x=2 und x=[mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm] positiv, für kleinere x negativ.
x- [mm]\bruch{1+ \wurzel{5}}{2}[/mm] ist für x<2 grundsätzlich negativ.
Du brauchst also eine Fallunterscheidung für die drei Bereiche
x zwischen 2 und 1
x noch kleiner, nämlich zwischen x=1 und x=[mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm]
und
x<[mm]\bruch{1- \wurzel{5}}{2}[/mm]
Gruß Abakus
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> Ich verstehe es nicht =( .
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