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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2} [/mm] und g(x) = [mm] x^2+2
[/mm]
a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils vom Graphen von g begrenzt wird.
b) Bestimme eine Funktion h(x) = [mm] ax^2+b [/mm] so, dass sich die Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig schneiden.
c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei Funktionen g,,f und h begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers? |
Meine Ideen:
a) Zunächst sollte ich miir die Schnittpunkte berechnen:
[mm] \bruch{8}{x^2}= x^2+2 /*x^2
[/mm]
[mm] 8=x^4+2x^2
[/mm]
[mm] x^4+2x-8=0
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] 1,2= -1 [mm] \pm \\wurzel{1+8}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] 1= 2
[mm] x^2 [/mm] 2=-4
x= [mm] \pm \wurzel{2}
[/mm]
A1= [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^2+2 dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^3}{3}+2x= [/mm] 0,942809042+2,82842715
=3,771236167 bzw. [mm] \bruch{8*\wurzel{2}}{3} [/mm] FE
A2= [mm] \integral_{\wurzel{2}}^{x}{\bruch{8}{x^2} dx}
[/mm]
=8* [mm] \integral_{\wurzel{2}}^{x}{x^{-2} dx}
[/mm]
[mm] =-\bruch{8}{x}=- \bruch{8}{\wurzel{2}} =\bruch{8}{\wurzel{2}}
[/mm]
A gesamt= [mm] \bruch{8*\wurzel{2}}{3}+\bruch{8}{\wurzel{2}}= [/mm] 9,428090416 FE
b) h(x)= [mm] ax^2+b
[/mm]
P(2/y) = P(2/2)
f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2} =8x^{-2}
[/mm]
[mm] f'(x)=8*(-2x^{-3})
[/mm]
[mm] =-\bruch{16}{x^3}
[/mm]
f'(2)= -2
[mm] kn=\bruch{-1}{k}= \bruch{1}{2}
[/mm]
h'(x)= 2*ax => h(2)=2
4a+b=2
h'(2)= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 4a=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] \bruch{4}{8}+b=2
[/mm]
[mm] b=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] h(x)=\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2}
[/mm]
Stimmen meine bisherigen berechnungen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo MathematikLosser,
> Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm]\bruch{8}{x^2}[/mm] und g(x) =
> [mm]x^2+2[/mm]
> a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von
> der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils
> vom Graphen von g begrenzt wird.
> b) Bestimme eine Funktion h(x) = [mm]ax^2+b[/mm] so, dass sich die
> Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig
> schneiden.
> c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei
> Funktionen g,,f und h begrenzt wird, rotiert um die
> x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden
> Rotationskörpers?
> Meine Ideen:
> a) Zunächst sollte ich miir die Schnittpunkte berechnen:
> [mm]\bruch{8}{x^2}= x^2+2 /*x^2[/mm]
> [mm]8=x^4+2x^2[/mm]
> [mm]x^4+2x-8=0[/mm]
> [mm]x^2[/mm] 1,2= -1 [mm]\pm \\wurzel{1+8}[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] 1= 2
> [mm]x^2[/mm] 2=-4
> x= [mm]\pm \wurzel{2}[/mm]
>
> A1= [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^2+2 dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x^3}{3}+2x=[/mm] 0,942809042+2,82842715
> =3,771236167 bzw. [mm]\bruch{8*\wurzel{2}}{3}[/mm] FE
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> A2= [mm]\integral_{\wurzel{2}}^{x}{\bruch{8}{x^2} dx}[/mm]
> =8*
> [mm]\integral_{\wurzel{2}}^{x}{x^{-2} dx}[/mm]
> [mm]=-\bruch{8}{x}=- \bruch{8}{\wurzel{2}} =\bruch{8}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> A gesamt= [mm]\bruch{8*\wurzel{2}}{3}+\bruch{8}{\wurzel{2}}=[/mm]
> 9,428090416 FE
>
Das ist die Fläche im 1. Quadranten.
> b) h(x)= [mm]ax^2+b[/mm]
> P(2/y) = P(2/2)
> f(x)= [mm]\bruch{8}{x^2} =8x^{-2}[/mm]
> [mm]f'(x)=8*(-2x^{-3})[/mm]
> [mm]=-\bruch{16}{x^3}[/mm]
> f'(2)= -2
> [mm]kn=\bruch{-1}{k}= \bruch{1}{2}[/mm]
> h'(x)= 2*ax => h(2)=2
> 4a+b=2
> h'(2)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]4a=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]a=\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]\bruch{4}{8}+b=2[/mm]
> [mm]b=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]h(x)=\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Stimmen meine bisherigen berechnungen?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= $ [mm] \bruch{8}{x^2} [/mm] $ und g(x) = $ [mm] x^2+2 [/mm] $
a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils vom Graphen von g begrenzt wird.
b) Bestimme eine Funktion h(x) = $ [mm] ax^2+b [/mm] $ so, dass sich die Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig schneiden.
c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei Funktionen g,f und h begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers? |
h(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2}
[/mm]
g(x)= [mm] x^2+2
[/mm]
V(f)= [mm] \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{2}{(\bruch{8}{x^2})^2 dx}
[/mm]
[mm] V=\pi* \bruch{-64}{3x^3}
[/mm]
V= [mm] [-2,6666666-(-7,54242472333)]*\pi= [/mm] 15,317 VE
[mm] V(g)=\pi*\integral_{0}^{\wurzel{2}}{(x^2+2)^2 dx}
[/mm]
[mm] =\pi *\integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^4+4x^2+4 dx}
[/mm]
= [mm] \pi*(\bruch{x^5}{5}+\bruch{4x^3}{3}+4x)
[/mm]
= [mm] \pi*(1,13137085+3,771236166+5,656854249)
[/mm]
= 33,17352594 VE
V(h)= [mm] \pi*\integral_{0}^{2}{(\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2})^2 dx}
[/mm]
= [mm] \pi*\integral_{0}^{2}{ \bruch{x^4}{64}+\bruch{6x^2}{16}+\bruch{9}{4}dx}
[/mm]
= [mm] \pi*(\bruch{x^5}{320}+\bruch{6x^3}{48}+\bruch{9x}{4})
[/mm]
= [mm] \pi* [/mm] (0,1+1+4,5)= 17,59291886 VE
V(gesamt)= 15,317+33,173-17,593=30,897 im 1. Quadranten
Gesamt=> 2*30,897=61,794 VE
Stimmen meine Berechnungen?
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