Funktion Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
f(x,y,z)=xy+xz
Nebenbedingung : [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
Nun soll Lage und Art der Extrema bestimmen.
Ich hätte als Extrema heraus : [mm] +-\bruch{1}{\wurzel{2} }
[/mm]
+- [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
+- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Das ist ein Maximum (Werte in die Funktion eingsetzt ergibt einen positiven Wert)
Das 2.Extrema ist : [mm] +-\bruch{1}{\wurzel{2} }
[/mm]
-+ [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
-+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Das ist ein Minimum
Könnten dieses Ergebnisse stimmen.Ich weiß leider nicht wie ich das mit Wolfram Alpha überprüfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was sollen denn diese Werte darstellen? du bist doch im [mm] R^3 [/mm] bzw auf der Oberfläche der Einhietskugel musst also 3 Koordinaten für ein Extrema haben.
wo hast du was eingesetzt? wieso ist etwas ein Max. wenn die fkt dort positiv ist?
Schildere doch mal dein Vorgehen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Ja das sollen auch jeweils 3 Werte darstellen .Nur ist beim Formatieren etwas schief gelaufen.
Ich hab es mit den Largranschen Mulitplikator gemacht
Habe 4 Gleichungen zu Verfügung
[mm] fx-\lambda [/mm] gx =0 [mm] y+z-\lambda [/mm] (2x)=0
[mm] fy-\lambda [/mm] gy=0 [mm] x-\lambda [/mm] (2y)=0
[mm] fz-\lambda [/mm] gz=0 [mm] x-\lambda [/mm] (2z)=0
g(x,y,z)=0 [mm] x^2+y^2+z^2-1=0
[/mm]
Nun habe ich GL 2 und 3 umgeformt auf [mm] \lambda [/mm] und gleichgesetzt. Dadurch habe ich die Beziehung z=y bekommen
Dann GL 1 mit der erhaltenen Beziehung ergänzt und mit GL 2 gleichgesetzt. Daduch habe ich für y= +- [mm] \bruch{x}{\wurzel{2}} [/mm] erhalten.
Diese Ausdruck habe ich nun für + und für - in die GL4 eingsetzt und auch das y=z ist und habe somit Werte für x erhalten und diese Rückeingesetzt in y=.... ergibt mir Werte für y und z
Die jeweils 3 Koordinaten des Extremas eingesetzt in f(x,y,z) hat mir den Wert +- [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] ergeben .Also jeweils Max und Min
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja das sollen auch jeweils 3 Werte darstellen .Nur ist beim
> Formatieren etwas schief gelaufen.
>
> Ich hab es mit den Largranschen Mulitplikator gemacht
>
> Habe 4 Gleichungen zu Verfügung
>
> [mm]fx-\lambda[/mm] gx =0 [mm]y+z-\lambda[/mm] (2x)=0
> [mm]fy-\lambda[/mm] gy=0 [mm]x-\lambda[/mm] (2y)=0
> [mm]fz-\lambda[/mm] gz=0 [mm]x-\lambda[/mm] (2z)=0
> g(x,y,z)=0 [mm]x^2+y^2+z^2-1=0[/mm]
>
>
> Nun habe ich GL 2 und 3 umgeformt auf [mm]\lambda[/mm] und
> gleichgesetzt. Dadurch habe ich die Beziehung z=y bekommen
> Dann GL 1 mit der erhaltenen Beziehung ergänzt und mit GL
> 2 gleichgesetzt. Daduch habe ich für y= +-
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{2}}[/mm] erhalten.
>
> Diese Ausdruck habe ich nun für + und für - in die GL4
> eingsetzt und auch das y=z ist und habe somit Werte für x
> erhalten und diese Rückeingesetzt in y=.... ergibt mir
> Werte für y und z
>
> Die jeweils 3 Koordinaten des Extremas eingesetzt in
> f(x,y,z) hat mir den Wert +- [mm]1/\wurzel{2}[/mm] ergeben .Also
> jeweils Max und Min
>
Deine Rechnungen stimmen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Vielen Dank!
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