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| Aufgabe | Geg. ist f: (-1,1) -> $ [mm] \IR [/mm] $ mit|f(0)| $ [mm] \le [/mm] $ 1/2 und |f(x)-f(y)| $ [mm] \le [/mm] $ 1/3 |(x-y)| für alle x,y aus (-1,1).
a) Man zeige: f((-1,1)) $ [mm] \subseteq [/mm] $ (-1,1).
b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch $ [mm] x_0=0, x_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] f(x_n), n\ge [/mm] $ 0 eine Cauchyfolge def. ist. |
Wer kann mir hier weiterhelfen?
Ich habe leider immer noch wenig Ahnung, was ich hier machen muss.
Ich versuche es trotzdem mal....
zu a) f ist definiert auf (-1, 1) (beide Werte inkl.)
Heißt das, dass ich diese Werte für x einsetzen muss?
Was nehme ich dann für y?
Ehrlich gesagt kann ich mit dieser Aufgabe nicht umgehen.
DANKE VORAB...:-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Aus der zweiten Ungleichung erhälst du [mm] $|f(x)-f(0)|\le 1/3|x|\le1/3$. [/mm] Wie kannst du nun $|f(x)|$ abschätzen?
Bei Aufgabe b) sieht man zunächst (wegen a)), dass diese Folge vollständig in (-1,1) liegt. Also kannst du die Ungleichung aus der Voraussetzung iteriert anwenden: [mm] $$|f(x_{n+k})-f(x_n)|\le 1/3|x_{n+k}-x_n|=1/3|f(x_{n+k-1})-f(x_{n-1})|\le...\le 1/3^n|x_k-x_0|=1/3^n|x_k|\le 1/3^n$$ [/mm] Was bedeutet das?
Gruß, Robert
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