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Funktion 3ten Grades: Bestimmung der Funktionsgl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

hallihallo
ich hab da ein problem.
ich habe eine ganzrationale funktion 3ten grades. Kt hat in o(0/0) eine Tangente mit der Steigung 3/2t und berührt in Nt(3t/0) die x-Achse.
nun soll ich die funktionsgleichung bestimmen.
das hab ich auch versucht aber es klappt nicht.

die allgemeine ist ja f(x)= ax³ + bx² + cx + d

und als bedingung gilt:
f(3t)=0
dadurch komm ich auf 27t³ + 9t²b + 3tc=0

und die zweite ist
f'(0)=3/2t
dadurch komm icha uf 27/4t²a + 3tb + c=3/2t

stimmt das soweit oder ist hier schon mein fehler?

die beiden gleichungen hab ich dann in ein gleichunssystem gesetzt aber da kommt nur mist raus. kann mir da jemand helfen???

bitte!!!
schreibe am freitag meine abivorklausur
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Funktion 3ten Grades: Korrektur + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Kleene, ;-)


[willkommenmr] !!


> ich habe eine ganzrationale funktion 3ten grades. Kt hat
> in o(0/0) eine Tangente mit der Steigung 3/2t und berührt
> in Nt(3t/0) die x-Achse.
> nun soll ich die funktionsgleichung bestimmen.
> das hab ich auch versucht aber es klappt nicht.
>  
> die allgemeine ist ja f(x)= ax³ + bx² + cx + d

[daumenhoch]



> und als bedingung gilt:
>  f(3t)=0

[ok]

>  dadurch komm ich auf 27t³ + 9t²b + 3tc=0

[notok] Wo hast Du denn die Koeffizienten $a$ und $d$ gelassen?


> und die zweite ist
> f'(0)=3/2t
> dadurch komm ich auf 27/4t²a + 3tb + c=3/2t

[notok] Hier mußt Du doch für $x \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] einsetzen:
$f'(0) \ = \ [mm] 3a*0^2 [/mm] + 2b*0 + c \ = \ c \ = \ 3/2t$

Heißt das eigentlich: [mm] $\bruch{3}{2t}$ [/mm] oder [mm] $\bruch{3}{2}*t$ [/mm] ??
(Bitte benutze doch unseren Formeleditor, das ist nicht schwer und macht die Sache um einiges übersichtlicher ...)


Nun hast Du noch zwei weitere Informationen aus der Aufgabenstellung bisher nicht "verarbeitet" ...

[1] Der Punkt $O \ ( \ 0 \ | \ 0 \ )$ liegt auf der Kurve von [mm] $K_t$: [/mm]
$f(0) \ = \ 0$

[2] An der Nullstelle [mm] $N_t [/mm] \ ( \ 3t \ | \ 0 \ )$ berührt die Kurve [mm] $K_t$ [/mm] die x-Achse, d.h. die Steigung ist an dieser Stelle auch gleich Null:
[mm] $f'(x_N) [/mm] \ = \ f'(3t) \ = \ 0$


Kommst Du nun alleine weiter?
Melde Dich doch nochmal mit Deinen Ergebnissen ...


Gruß
Loddar

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Funktion 3ten Grades: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

ersteinmal danke für die hilfe...aber in der zwischenzeit bin ich auch drauf gekommen....mir fehlte halt die 4te bedingung. und dass d=0 ist hab ich gleich weggelassen....
naja und bei der einen rechnung hab ich trottelchen mich verrechnet ;) sehr schlimm...bin ne kleine chaotin...
naja auf jedenfall hab ich jetzt !76t für a heraus bekommen...und den rest rechne ich gleich aus....
ahja und sorry dass ich mich mit dem programm hier nicht so auskenne...aber ich bin ganz neu hier und hatte keine zeit mich weiter umzuschauen. aber ich werds zum nächsten post machen.

vielen dank
liebe grüße
kleene
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Funktion 3ten Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mi 02.03.2005
Autor: birne242

mich würde auch mal das ergebnis interessieren!

ich habe raus : f(x) = 1/6x*3 - x*2 + 3/2x
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Funktion 3ten Grades: ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

ich habe raus : f(x) = 1/6tx*3 - x*2 + 3/2tx
das t bei 1/6 steht dabei unterm bruchstrich und das t bei 3/2 steht daneben....

supi :) muss richtig sein
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Funktion 3ten Grades: noch eine frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

also die aufgabe is ja jetzt erledigt
aber ich muss noch hoch- tief- und wendepunkte berechnen und K3 zeichnen.
und: Welche Kurve bilden die wendepunkte aller Kt?
ich rechne mal und dann schau ich weiter....

ahja und kann mir jemand sagen ob die 2te ableitung der funktionsgleichung f''(x)=-2 ist?

lieben dank und viel spaß
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Funktion 3ten Grades: 2. Ableitung (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Kleene!


> ahja und kann mir jemand sagen ob die 2te ableitung der
> funktionsgleichung f''(x)=-2 ist?

[notok] Da hättest Du ja nicht viel Erfolg mit der Suche nach den Wendestellen ;-) ...


Unser Funktion lautet doch:

[mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6t}*x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}*t [/mm] * [mm] \red{x}$ [/mm]
Edit: Funktion und 1. Ableitung korrigiert: x ergänzt


[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2t}*x^2 [/mm] - 2*x [mm] \red{ \ + \bruch{3}{2}*t}$ [/mm]

[mm] $f_t''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{t}*x [/mm] - 2$

[mm] $f_t'''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{t}$ [/mm]


Alles klar?

Gruß
Loddar

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Funktion 3ten Grades: ich nochmal :)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

also hab jetzt den tiefpunkt und die wendestelle
der TP(4t/-16/3*t²+6t) und WP(2t/1/3*t²)
kann das richtig sein?


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Funktion 3ten Grades: Korrekturen (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hello again ... ;-)

Folgenden Artikel bitte gekonnt und bewußt ignorieren, da sich hier mein an Analphabetismus leidender Ego-Part durchgesetzt hat ... [peinlich]

> also hab jetzt den tiefpunkt und die wendestelle
> der TP(4t/-16/3*t²+6t) und WP(2t/1/3*t²)

Die entsprechenden x-Werte habe ich auch. Aber die zugehörigen y-Werte (= Funktionswerte) sind wohl nicht richtig ...

Ich habe hier erhalten (ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet):

$TP \ [mm] \left( \ 4t \ \left| \ - \bruch{16}{3}t^2 + \bruch{3}{2}t \ \right)$ $WP \ \left( \ 2t \ \left| \ - \bruch{8}{3}t^2 + \bruch{3}{2}t \ \right)$ Was ist denn mit dem Hochpunkt, der hier auch noch existiert? Da hast Du wohl eine Nullstelle der 1. Ableitung unterschlagen ... Kontrolliere das doch nochmal, bitte ... Grüße Loddar [/mm]
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Funktion 3ten Grades: JETZT aber :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

alsooooooooo
ich weiß jetzt wo der fehler liegt. bei der ersten ableitung fehlte das 3/2*t
ich hab jetzt 2 mögliche Extremstellen heraus. x=t oder x=3t
daraus ergibt sich dann der TP(3t/0)) und der HP(t/2/3*t²)
jhuuuu :)
vielen lieben dank...und die wendestelle ist auch richtig. und die ortslinie aller wendepunkte liegt bei 1/12*x²

danke nochmal
aber ich glaub diesmal hab ichs richtig...
kannst trotzdem gern bescheid sagen falls du was anderes hast

kann man hier irgendwo schauen wie der graph dazu ausschaut????
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Funktion 3ten Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 02.03.2005
Autor: Einstein

Hallo Loddar,

wenn ich mich nicht irre, hast Du bei der Funktiongleichung ein x (lineares Glied) vergessen:

$ [mm] f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6t}\cdot{}x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}\cdot{}t*x [/mm] $


Bezug
                                                                
Bezug
Funktion 3ten Grades: genau das meinte ich :)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

alsooooooooo
ich weiß jetzt wo der fehler liegt. bei der ersten ableitung fehlte das 3/2*t
ich hab jetzt 2 mögliche Extremstellen heraus. x=t oder x=3t
daraus ergibt sich dann der TP(1/-18t²) und der HP(t/2/3*t²)
jhuuuu :)
vielen lieben dank...und die wendestelle ist auch richtig. und die ortslinie aller wendepunkte liegt bei 1/12*x²

danke nochmal
aber ich glaub diesmal hab ichs richtig...
kannst trotzdem gern bescheid sagen falls du was anderes hast
Bezug
                                                                
Bezug
Funktion 3ten Grades: Hast natürlich recht ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Einstein,

da hast Du natürlich recht. Und schon ist auch der Reste der Rechnung / Korrektur leicht daneben.

Werde es sogleich beheben - Danke für den Hinweis!


Grüße
Loddar

Bezug
                                                                
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Funktion 3ten Grades: brauche nochmal HILFEEEE
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

bestimme den Inhalt A(t) der Fläche, die von Kt und der x-Achse eingeschlossen wird. dafür habe ich den Wert 27/24*t³ heraus bekommen...denke das ist auch richtig...
aber meine frage besteht in der nächsten Aufgabe:
für welchen Wert von t geht die Normale von Kt im Wendepunkt durch den Koordinatenursprung? In welchem Verhältnis wird A(t) für dieses t durch die Normale im Wendepunkt geteilt?

also ich komm einfach nicht auf den wert von t....kann mir jemand sagen was ich da überhaupt machen muss???? das würde ja schon sehr helfen

vielen dank im vorraus
Bezug
                                                                        
Bezug
Funktion 3ten Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mi 02.03.2005
Autor: oliver.schmidt


> bestimme den Inhalt A(t) der Fläche, die von Kt und der
> x-Achse eingeschlossen wird. dafür habe ich den Wert
> 27/24*t³ heraus bekommen...denke das ist auch richtig...
>  aber meine frage besteht in der nächsten Aufgabe:
>  für welchen Wert von t geht die Normale von Kt im
> Wendepunkt durch den Koordinatenursprung? In welchem
> Verhältnis wird A(t) für dieses t durch die Normale im
> Wendepunkt geteilt?
>  
> also ich komm einfach nicht auf den wert von t....kann mir
> jemand sagen was ich da überhaupt machen muss???? das würde
> ja schon sehr helfen

na dann will ich dir mal auf die Sprünge helfen.

Zuerst musst du natürlich den Wendepunkt berechnen

das geht wie?
[mm] f_t''(x_w)=0 [/mm]

dann berechnest du die Normalensteigung im Wendepunkt

und das geht so : sei die Normalensteigung n,

[mm] n=-\bruch{1}{f'(x_w)} [/mm]

das ist so, weil die Normale auf der Tangente senkrecht steht, also gilt m*n=-1  m: Steigung der Tangente
jetzt setzt du in die Geradengleichung

y=m*x+b  für m die Normalensteigung n ein und für x und y die Koordinaten des Wendepunktes und löst nach b auf. Dann kannst du die Normalengleichung in der Form y=m*x+b darstellen.

Versuch erst mal diese sehr allgemeine Lösungshilfe, wennns nicht reicht, frag nach, das Integral kommt dann im nächsten Schritt..

Gruß
OLIVER
> vielen dank im vorraus
>  
Bezug
                                                                                
Bezug
Funktion 3ten Grades: danke :) und das integral?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mi 02.03.2005
Autor: Kleene

also ich hab jetzt y=2tx - 11/3*t² als normalengleichung raus. kann das ja auch mit der punkt steigungs form ausrechnen...
aber welches integral berechne ich jetzt um das verhältnis rauszubekommen???

wendestellen und das alles habe ich ja vorhin schon ausgerechnet

vielen lieben dank
Bezug
                                                                                        
Bezug
Funktion 3ten Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mi 02.03.2005
Autor: oliver.schmidt

überleg dir doch mal. ob du die Fläche zwischen Kurve und der Geraden bzw. der Geraden und der x-Achse bestiimen kannst.

Tipp: du wirst die schnittpunkte der Geraden und de kurve als Integrationsgrenzen benötigen...

Gruß
OLIVER
Bezug
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