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Funktion: probleme mit einer aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mi 30.04.2008
Autor: annaS

Aufgabe
a.) Sei f(x) = [mm] e^{x^{2}+x+1} [/mm] . Geben Sie die Näherung 1. Ordnung von f(x) für kleine |x| an. Skizzieren Sie auch grob den Graphen von f. Nutzen Sie, dass f eine lineare Tranformation einer einfacheren Funktion ist (welcher).

b.) Sei h(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}. [/mm] Was ist der maximale reelle Definitionsbereich des Ausdrucks? Skizzieren Sie den Graphen der zugehörigen Funktion in diesem Definitionsbereich grob. Beantworten Sie mittels der 1. Ableitung die Extremwertfrage quantitativ.

Guten morgen,

könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiss garnicht so recht wie ich anfangen soll, geschweige denn eine Lösung zu dieser Aufgabe finden soll.

Es wäre nett wenn mir jemand Hilfestellungen zu dieser Aufgabe geben könnte bzw. mir den Lösungsweg erläutern würde.

Irgendwie bin ich gerade wirklich verzweifelt und würde mich daher sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte

Liebe Grüße

Anna

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion: Aufgabe b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Mi 30.04.2008
Autor: M.Rex

Hallo Anna und [willkommenmr]

>  
> b.) Sei h(x) = [mm]\bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}.[/mm] Was ist der
> maximale reelle Definitionsbereich des Ausdrucks?
> Skizzieren Sie den Graphen der zugehörigen Funktion in
> diesem Definitionsbereich grob. Beantworten Sie mittels der
> 1. Ableitung die Extremwertfrage quantitativ.

Du hast hier ja als Funktion einen Bruch. In einem Solchen Bruch darf den Nenner ja nicht Null werden, also musst du beim Def.-Bereich die Werte für x ausschliessen, bei denen genau das passiert.

Also hier:
[mm] 1+x^{2}=0 [/mm]
[mm] \gdw x^{2}=-1 [/mm]
Hier hast du aber Glück, da sich diese Gleichung in  [mm] \IR [/mm] nicht lösen lässt,, also hast du damit schonmal kein Problem

Bleibt noch der Zähler, der ja eigentlich keine Einschränkung hat. Hier hast du aber eine Wurzel dabei. Bei dieser darf der Radikand (Der Term darunter) nicht negativ werden.
Also musst du hier die Werte für x ausschliessen, für die gilt:
$x+1<0$
[mm] \gdw-1
Für die Skizze brauchst du jetzt noch die Extremstellen und die Nullstellen
(Quantitativ heisst hier vermutlich, dass du nur die Stellen bestimmen sollst, und nicht den kompletten Extrempunkt. Also brauchst du bei deinem Koordinatensystem nur die x-Achse Skalieren)
Für die Nullstellen muss gelten:
h(x)=0
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}=0 [/mm]
[mm] \gdw \wurzel{x+1}=0 [/mm]
[mm] \gdw0=x+1 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]

Für die Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] muss gelten:
[mm] h'(x_{e})=0 [/mm]  und [mm] h''(x_{e})\ne0 [/mm] (<0 für Hochpunkt, >0 für Tiefpunkt)

Also bilde erstmal die beiden Ableitungen (Mit Quotienten und Kettenregel)
[mm] h(x)=\bruch{\overbrace{\wurzel{x+1}}^{u}}{\underbrace{1+x^{2}}_{v}} [/mm]
[mm] h'(x)=\bruch{\overbrace{\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}}^{u'}\overbrace{(1+x²)}^{v}-\overbrace{\wurzel{1+x}}^{u}*\overbrace{2x}^{v'}}{\underbrace{(1+x²)^{2}}_{v²}} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}}{1+x²}-\bruch{2x\wurzel{1+x}}{(1+x²)^{2}} [/mm]

Hast du das, kannst du die Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] bestimmen, und dann die Funktion skizzieren.

Marius

Bezug
                
Bezug
Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mi 30.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

> gilt:
>  [mm]x+1<0[/mm]
>  [mm]\gdw-1
>  

hier muss es aber [mm] x+1\ge\\0 [/mm] heissen

[hut] Gruß

Bezug
                        
Bezug
Funktion: kommt drauf an
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Mi 30.04.2008
Autor: M.Rex


> Hi,
>  
> > gilt:
>  >  [mm]x+1<0[/mm]
>  >  [mm]\gdw-1
>  >  
> hier muss es aber [mm]x+1\ge\\0[/mm] heissen
>
> [hut] Gruß

Nicht zwingend. Das kommt darauf an, ob man als Ergebnis den "Ausschlussbereich" oder den Def.-Bereich haben will.
Ich habe es mir angewöhnt, den Ausschlussbereich zu suchen.

Marius


Bezug
                                
Bezug
Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Mi 30.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

>
> Nicht zwingend. Das kommt darauf an, ob man als Ergebnis
> den "Ausschlussbereich" oder den Def.-Bereich haben will.
>  Ich habe es mir angewöhnt, den Ausschlussbereich zu
> suchen.
>  

Ja ok verstehe :-)
Also du hast
x+1<0
[mm] \gdw [/mm] x<-1 ausgeschlossen. Ich meinete nur dass dein Äqivalenzpfeil irgendwie nicht stimmt. Aber ich weiss was du meinst

> Marius
>  

[hut] Gruß


Bezug
                                        
Bezug
Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Mi 30.04.2008
Autor: M.Rex


> Hi,
>  
> >
> > Nicht zwingend. Das kommt darauf an, ob man als Ergebnis
> > den "Ausschlussbereich" oder den Def.-Bereich haben will.
>  >  Ich habe es mir angewöhnt, den Ausschlussbereich zu
> > suchen.
>  >  
> Ja ok verstehe :-)
> Also du hast
> x+1<0
>  [mm]\gdw[/mm] x<-1 ausgeschlossen. Ich meinete nur dass dein
> Äqivalenzpfeil irgendwie nicht stimmt. Aber ich weiss was
> du meinst

Oops, sorry.

Marius

Bezug
                
Bezug
Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Mi 30.04.2008
Autor: annaS

Ich danke dir marius für die hilfe bei dieser Aufgabe.
Jetzt versteh ich endlich wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss.

Nun hoffe ich nur, dass es noch jemanden gibt der mir mit a) helfen kann.

Liebe Grüße Anna

Bezug
        
Bezug
Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Mi 30.04.2008
Autor: Tyskie84

Hallo Anna,

Ich weiss zwar nicht wie gut du dich mit Taylor auskennst aber die a) würde ich damit lösen. In welche Klasse gehst du denn oder studierst du vielleicht schon? Naja ich gebe dir mal zwei Internetseiten wo du mal nach lesen kannst wie die a) funktioniert.

Zunächst zur Näherung 1. Ordnung. (Übrigens ist mit Ordnung die Ableitung gemeint :-))

[guckstduhier] []Taylorentwicklung

Nehme als Entwicklungspunkt a=0

Nun zur linearen Transformation:

[guckstduhier] []l. Transformation

Wenn noch Unklarheiten bestehen dann kannst du dich nocheinmal melden bis dahin viel Erfolg [kleeblatt]

[hut] Gruß

Bezug
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