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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Baeni |
| Aufgabe | (X,f) sei ein ddS (diskretes dynamisches System), A eine kompakte, attraktive Teilmenge von X und U eine offene Umgebung von A. Zeigen Sie:
U ist genau dann eine Fundamentalumgebung von A, wenn gilt [mm] \lim_{n \to \infty} d (\left f^n(x),A \right) = 0 [/mm] gleichmäßig für alle x [mm] \in [/mm] U |
Ich bin gerade am Knackpunkt. Wie kann ich denn zeigen das der Fixpunkt von [mm] f^n(x) [/mm] für ein hinreichend großes n in A liegt?
Wäre für eine schnellen Typ sehr dankbar.
Gruß Baeni
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Baeni |
Ich bitte die Rechtschreibfehler zu überlesen. (Peinlich!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Baeni!
> (X,f) sei ein ddS (diskretes dynamisches System), A eine
> kompakte, attraktive Teilmenge von X und U eine offene
> Umgebung von A. Zeigen Sie:
Erstmal vorweg: $U$ heisst Fundamentalumgebung, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $A$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n(U) \subseteq [/mm] V$ fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
> U ist genau dann eine Fundamentalumgebung von A, wenn gilt
> [mm]\lim_{n \to \infty} d (\left f^n(x),A \right) = 0[/mm]
> gleichmäßig für alle x [mm]\in[/mm] U
>
> Ich bin gerade am Knackpunkt. Wie kann ich denn zeigen das
> der Fixpunkt von [mm]f^n(x)[/mm] für ein hinreichend großes n in A
> liegt?
Warum interessieren dich Fixpunkte?
Da du sonst keinen Hinweis gegeben hast wie du das beweisen gedenkst kann ich dir damit nicht weiterhelfen, mit einem allgemeinen Beweisansatz aber schon:
Beachte, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} d(f^n(x), [/mm] A) = 0$ gleichmaessig fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$ nichts anderes heisst, als dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt so, dass fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle $x [mm] \in [/mm] U$ gilt [mm] $d(f^n(x), [/mm] A) < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Weiterhin ist zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ durch [mm] $A_\varepsilon [/mm] := [mm] \bigcup_{a \in A} B_\varepsilon(a)$ [/mm] eine offene Umgebung von $A$ gegeben mit $d(a, A) < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $a [mm] \in A_\varepsilon$. [/mm] (Hier ist [mm] $B_\varepsilon(a)$ [/mm] ein Ball mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] und Mittelpunkt $a$.)
Damit und mit der Definition von Fundamentalumgebung solltest du ziemlich schnell zum Ziel kommen. Und wenn nicht: sag genauer was du gemacht hast und wo es hakt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 23.04.2009 | | Autor: | Baeni |
> Warum interessieren dich Fixpunkte?
>
Meine erste Überlegung war, dass man den Banachschen Fixpunktsatz anwenden kann und aus diesem folgt, dass es einen Fixpunkt [mm] x_f [/mm] gibt mit [mm] x_f [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f^n [/mm] (x). Hätte ich nun zeigen können, dass der Fixpunkt in A liegt, dann wäre der Beweis so gut wie fertig. Ich hätte "nur" noch die gleichmäßigkeit zeigen müssen.
> Weiterhin ist zu [mm]\varepsilon > 0[/mm] durch [mm]A_\varepsilon := \bigcup_{a \in A} B_\varepsilon(a)[/mm]
> eine offene Umgebung von [mm]A[/mm] gegeben mit [mm]d(a, A) < \varepsilon[/mm]
> fuer alle [mm]a \in A_\varepsilon[/mm]. (Hier ist [mm]B_\varepsilon(a)[/mm]
> ein Ball mit Radius [mm]\varepsilon[/mm] und Mittelpunkt [mm]a[/mm].)
>
> Damit und mit der Definition von Fundamentalumgebung
> solltest du ziemlich schnell zum Ziel kommen. Und wenn
> nicht: sag genauer was du gemacht hast und wo es hakt.
>
> LG Felix
>
Danke schön für deinen Tipp. Ich wäre dir dankbar, wenn du mal kurz über meinen Beweis drüberschauen könntest, bzw. mir nochmal einen Tipp gibst, da ich glaube die Gleichmäßigkeit im ersten Teilbeweis wieder nicht gezeigt zu haben, wie ich diesen denn einbauen kann.
Beweis wie folgt:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei U Fundamentalumgebung von A, dann gilt für jede Umgebung V von A [mm]f^n (U) \subseteq V[/mm]. Und [mm] V_ \varepsilon :=\bigcup_{a \in A} B_\varepsilon (A)[/mm] mit [mm]d(a,A)>\varepsilon[/mm] für [mm] \varepsilon>0 [/mm] und a [mm] \in V_\varepsilon.
[/mm]
Da [mm]\varepsilon>\bruch{1}{n}[/mm], gilt [mm]d(a,A)<\bruch{1}{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}>d(a,A)=0[/mm].
Wegen [mm] f^n(U)\subseteq V[/mm] gilt [mm] f^n(x)\in V[/mm] für ein hinreichend großes n und x [mm] \in [/mm] U gilt, [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}> d(f^n(x),A) =0 [/mm]
Es fehlt hier noch die Gleichmäßigkeit. Tipp?
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Sei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(f^n(x),A) = 0 [/mm]gleichmäßig für alle [mm] x\in [/mm] U.
Dann gibt es für jedes [mm] \varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N \in \IN [/mm], so dass für alle [mm]n \ge N [/mm]und allen [mm]x \in U[/mm] [mm] d(f^n(x),A)< \varepsilon[/mm] gilt.
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist eine offene Umgebung von A. Für jedes [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]\delta > \varepsilon > 0[/mm] existiert, gibt es eine offene Umgebung [mm]V_\delta := \bigcup_{a \in A} B_\varepsilon (a)[/mm], so dass [mm]f^n (U) \subseteq V_ \delta[/mm]. Und damit ist U eine Fundamentalumgebung von A.
"q.e.d"
Wäre euch dankbar, wenn ihr mich auf Fehler aufmerksam machen würdet.
Gruß Baeni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Warum interessieren dich Fixpunkte?
>
> Meine erste Überlegung war, dass man den Banachschen
> Fixpunktsatz anwenden kann und aus diesem folgt, dass es
> einen Fixpunkt [mm]x_f[/mm] gibt mit [mm]x_f[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f^n[/mm] (x). Hätte ich nun zeigen
> können, dass der Fixpunkt in A liegt, dann wäre der Beweis
> so gut wie fertig. Ich hätte "nur" noch die gleichmäßigkeit
> zeigen müssen.
Ah, so hast du das gemeint. Wie (bzw. ob) man damit weiterkommt kann ich dir nicht sagen.
> > Weiterhin ist zu [mm]\varepsilon > 0[/mm] durch [mm]A_\varepsilon := \bigcup_{a \in A} B_\varepsilon(a)[/mm]
> > eine offene Umgebung von [mm]A[/mm] gegeben mit [mm]d(a, A) < \varepsilon[/mm]
> > fuer alle [mm]a \in A_\varepsilon[/mm]. (Hier ist [mm]B_\varepsilon(a)[/mm]
> > ein Ball mit Radius [mm]\varepsilon[/mm] und Mittelpunkt [mm]a[/mm].)
> >
> > Damit und mit der Definition von Fundamentalumgebung
> > solltest du ziemlich schnell zum Ziel kommen. Und wenn
> > nicht: sag genauer was du gemacht hast und wo es hakt.
> >
> > LG Felix
>
> Danke schön für deinen Tipp. Ich wäre dir dankbar, wenn du
> mal kurz über meinen Beweis drüberschauen könntest, bzw.
> mir nochmal einen Tipp gibst, da ich glaube die
> Gleichmäßigkeit im ersten Teilbeweis wieder nicht gezeigt
> zu haben, wie ich diesen denn einbauen kann.
Ok.
> Beweis wie folgt:
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> Sei U Fundamentalumgebung von A, dann gilt für jede
> Umgebung V von A [mm]f^n (U) \subseteq V[/mm].
Ok.
> Und [mm]V_ \varepsilon :=\bigcup_{a \in A} B_\varepsilon (A)[/mm]
> mit [mm]d(a,A)>\varepsilon[/mm] für [mm]\varepsilon>0[/mm] und a [mm]\in V_\varepsilon.[/mm]
Was meinst du jetzt damit? Vermutlich dass [mm] $V_\varepsilon$ [/mm] eine Umgebung von $A$ ist und alle Punkte daraus Abstand $< [mm] \varepsilon$ [/mm] zu $A$ haben?
> Da [mm]\varepsilon>\bruch{1}{n}[/mm], gilt [mm]d(a,A)<\bruch{1}{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}>d(a,A)=0[/mm].
Das ergibt jetzt keinen Sinn. Wieso sollte [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] sein? Und wieso sollte $d(a, A) < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] sein? Und was ist $a$ ueberhaupt, ein Element aus [mm] $V_\varepsilon$?
[/mm]
> Wegen [mm]f^n(U)\subseteq V[/mm] gilt [mm]f^n(x)\in V[/mm] für ein
> hinreichend großes n und x [mm]\in[/mm] U
> gilt,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}> d(f^n(x),A) =0[/mm]
Hier hast du wieder $V = [mm] V_\varepsilon$? [/mm] Oder was?
> Es fehlt hier noch die Gleichmäßigkeit. Tipp?
Dein "Beweis" war bisher leider ziemlich chaotisch. Ich wuerde ihn neu aufschreiben, etwa so:
Es muss gezeigt werden, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $d(f^n(x), [/mm] A) < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle $x [mm] \in [/mm] U$. Sei ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben.
Nun ist [mm] $V_\varepsilon$ [/mm] (Def. siehe oben) eine Umgebung von $A$, womit es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n(U) \subseteq V_\varepslion$ [/mm] fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Aber da fuer alle $x [mm] \in V_\varepsilon$ [/mm] gilt $d(x, A) < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt [mm] $d(f^n(x), [/mm] A) < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$, $n [mm] \ge [/mm] N$.
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> Sei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(f^n(x),A) = 0 [/mm]gleichmäßig
> für alle [mm]x\in[/mm] U.
> Dann gibt es für jedes [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N \in \IN [/mm], so
> dass für alle [mm]n \ge N [/mm]und allen [mm]x \in U[/mm] [mm]d(f^n(x),A)< \varepsilon[/mm]
> gilt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist eine offene Umgebung von A.
Wieso folgerst du das? Das war doch als Voraussetzung gegeben.
> Für jedes
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]\delta > \varepsilon > 0[/mm] existiert,
> gibt es eine offene Umgebung [mm]V_\delta := \bigcup_{a \in A} B_\varepsilon (a)[/mm],
> so dass [mm]f^n (U) \subseteq V_ \delta[/mm]. Und damit ist U eine
> Fundamentalumgebung von A.
Das ergibt keinen Sinn.
Was du machen musst:
Du nimmst irgendeine offene Umgebung $V$ von $A$. Dann musst du zeigen, dass es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n(U) \subseteq [/mm] V$ fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
Dazu kannst du zeigen, dass es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt mit [mm] $V_\varepsilon \subseteq [/mm] V$. Fuer dieses Argument benoetigst du nur, dass $A$ kompakt ist und $V$ eine offene Umgebung von $A$ ist! (Nimm an es gibt kein solches [mm] $\varepsilon$, [/mm] d.h. es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus Elementen in $X [mm] \setminus [/mm] V$ mit [mm] $\lim d(x_n, [/mm] A) = 0$. Dann kannst du eine Folge aus Elementen [mm] $(y_n)_n$ [/mm] aus $A$ finden mit [mm] $\lim d(x_n, y_n) [/mm] = 0$. Jetzt hast du eine Folge in einer kompakten Menge -- was folgt daraus? Was folgt dann fuer die [mm] $x_n$? [/mm] Kann das sein, wenn $A$ abgeschlossen ist?)
Wenn du das hast, beachte das wegen der gleichmaessigen Konvergenz [mm] $f^n(U) \subseteq V_\varepsilon \subseteq [/mm] V$ ist fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ (wobei $N$ von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und somit von $V$ abhaengt).
LG Felix
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