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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Fr 04.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A:\IR\to \IR^{n\times n} [/mm] stetig und periodisch, es gibt also ein [mm] p\in\IR, [/mm] sodass für jedes [mm] t\in\IR [/mm] die Gleichung A(t+p)=A(t) gilt. Weiter sei Y eine Fundamentalmatrix der Differenzialgleichung y'=A(t)y.
Zeigen Sie:
(i) Für jedes [mm] k\in\IZ [/mm] ist die Abildung [mm] Y_k:t\mapsto [/mm] Y(t+kp) ebenfalls eine Fundamentalmatrix.
(ii) Es gibt eine Matrix [mm] B\in\IR^{n\times n}, [/mm] sodass [mm] Y_k=YB^k.
[/mm]
(iii) Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix B, so existiert eine Lösung y der gegebenen Differenzialgleichung mit [mm] y(t+p)=\lambda [/mm] y(t) für jedes [mm] t\in\IR. [/mm] |
Ich habe leider sehr beschränkte Ideen zu dieser Aufgabe.
Zu (i):
Also Y ist Fundamentalmatrix, daher ist y(t)=Y(t)c allgemeine Lösung der DGL. Vielleicht mal einsetzen:
y'(t)=A(t)y(t)=A(t)Y(t)c
Außerdem ist A ja periodisch. Ist dann nicht A(t)=A(t+p)=A(t+kp)?--
EDIT:
Ich verbessere mich bei (i) mal selbst:
Y'(t+kp)=A(t+kp)Y(t+kp)=A(t)Y(t+kp), was nichts Anderes bedeutet, als das Y(t+kp) die gegebene DGL löst und Y(t+kp) Fundamentalmatrix ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Sa 05.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A:\IR\to \IR^{n\times n}[/mm] stetig und periodisch, es
> gibt also ein [mm]p\in\IR,[/mm] sodass für jedes [mm]t\in\IR[/mm] die
> Gleichung A(t+p)=A(t) gilt. Weiter sei Y eine
> Fundamentalmatrix der Differenzialgleichung y'=A(t)y.
>
> Zeigen Sie:
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> (i) Für jedes [mm]k\in\IZ[/mm] ist die Abildung [mm]Y_k:t\mapsto[/mm]
> Y(t+kp) ebenfalls eine Fundamentalmatrix.
>
> (ii) Es gibt eine Matrix [mm]B\in\IR^{n\times n},[/mm] sodass
> [mm]Y_k=YB^k.[/mm]
>
> (iii) Ist [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert der Matrix B, so existiert
> eine Lösung y der gegebenen Differenzialgleichung mit
> [mm]y(t+p)=\lambda[/mm] y(t) für jedes [mm]t\in\IR.[/mm]
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> Ich habe leider sehr beschränkte Ideen zu dieser Aufgabe.
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> Zu (i):
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> Also Y ist Fundamentalmatrix, daher ist y(t)=Y(t)c
> allgemeine Lösung der DGL. Vielleicht mal einsetzen:
>
> y'(t)=A(t)y(t)=A(t)Y(t)c
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> Außerdem ist A ja periodisch. Ist dann nicht
> A(t)=A(t+p)=A(t+kp)?--
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> EDIT:
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> Ich verbessere mich bei (i) mal selbst:
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> Y'(t+kp)=A(t+kp)Y(t+kp)=A(t)Y(t+kp), was nichts Anderes
> bedeutet, als das Y(t+kp) die gegebene DGL löst und
> Y(t+kp) Fundamentalmatrix ist.
Komplett aufgeschrieben hast Du:
[mm] $Y_k'(t)=Y'(t+kp)=A(t+kp)Y(t+kp)=A(t)Y(t+kp)=A(t)Y_k(t)$
[/mm]
Das zeigt, dass [mm] Y_k [/mm] eine Lösungsmatrix des Systems ist. Zeigen mußt Du noch: [mm] Y_k [/mm] ist eine Fundamentalmatrix. Tipp: Wronskidet.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 06.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, ich muss noch zeigen, dass es sich um eine Fundamentalmatrix handelt, dafür muss ich doch zeigen, dass die Wronski-Determinante ungleich 0 ist, sprich, dass die Matrix invertierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 06.03.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Okay, ich muss noch zeigen, dass es sich um eine
> Fundamentalmatrix handelt, dafür muss ich doch zeigen,
> dass die Wronski-Determinante ungleich 0 ist, sprich, dass
> die Matrix invertierbar ist?
Ja
FRED
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