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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Do 04.03.2010 | | Autor: | pavelle |
Hallo,
ich habe oft Probleme die Nullstellen von Polynonem 3. Grades aufwärts zu ermitteln.
Beispiel:
[mm] y^4-3y^{''}-4y=0
[/mm]
bei Polynomen 2. Grades kann ich ja die pq-Formel oder das Faktorisierung nutzen.
Hat jemand nun Tips oder Rechenwege, wie ich die Nullstellen höher wertiger Polynome leicht bestimmen kann?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Do 04.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo pavelle!
In Deinem genannten Fall ergibt sich als charakteristische Gleichung:
[mm] $$\lambda^4-3*\lambda^2-4 [/mm] \ = \ 0$$
Dies ist eine sogenannte biquadratische Gleichung, welche sich mit der Substitution $z \ := \ [mm] \lambda^2$ [/mm] auf eine "normale" quadratische Gleichung zurückführen lässt.
Im Allgemeinen muss man bei höhergradigen Polynomen versuchen, eine der Nullstellen durch Probieren zu finden und anschließend eine  Polynomdivision durchzuführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Fr 05.03.2010 | | Autor: | pavelle |
Hi,
mit der Substitution [mm] \lambda^2 [/mm] erhalte ich:
[mm] \lambda^{2}-3*\lambda-4=0 [/mm]
[mm] (\lambda+1)*(\lambda-4)
[/mm]
RÜcksubstitution:
[mm] (\lambda^2+1)*(\lambda^2-4)
[/mm]
Richtig?
Nur wie kann ich weiter auflösen, damit Lamba in erste Potenz steht?
Grüße
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Hallo pavelle,
> Hi,
> mit der Substitution [mm]\lambda^2[/mm] erhalte ich:
>
> [mm]\lambda^{2}-3*\lambda-4=0[/mm]
>
> [mm](\lambda+1)*(\lambda-4)[/mm]
>
> RÜcksubstitution:
>
> [mm](\lambda^2+1)*(\lambda^2-4)[/mm]
>
> Richtig?
>
> Nur wie kann ich weiter auflösen, damit Lamba in erste
> Potenz steht?
Nun, die Lösungen von
[mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]
und
[mm]\lambda^{2}-4=0[/mm]
bestimmen.
Jede dieser Gleichungen hat zwei Lösungen.
Dann ist
[mm]\lambda^{2}+1=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)*\left(\lambda-\lambda_{2}\right)[/mm]
und
[mm]\lambda^{2}-4=\left(\lambda-\lambda_{3}\right)*\left(\lambda-\lambda_{4}\right)[/mm]
>
> Grüße
>
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:32 Fr 05.03.2010 | | Autor: | pavelle |
thx!
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