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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fundamentalsystem
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Fundamentalsystem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:42 Sa 11.11.2006
Autor: jentowncity

Aufgabe
Zu bestimmen ist das Lösungs-Fundamentalsystem der BESSELschen DGL zum Parameter  p=1/2 :

[mm] y''+\frac{1}{x} y'+(1-\frac{1}{4x^{2}})y=0~~~,x>0 [/mm]

durch den Ansatz: [mm] y=\frac{z}{\sqrt{x}} [/mm]

Hallo an alle!

Ich hab hier eine Aufgabe, die ich meine gelöst zu haben, allerdings weiß ich nicht, wie man die Lösung korrekt aufschreibt.

Also ich hab zunächst y zweimal abgeleitet und dann alles in die DGL eigesetzt und dadurch eine ganz einfache DGL für z bekommen:

z''+z=0

Durch den Lösungsansatz: [mm] z=e^{\lambda x} [/mm] das charkteristische Polynom rausbekommen: [mm] \lambda^{2}+1=0 [/mm]

also [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i  
also [mm] z_{1}=e^{ix} [/mm]
und [mm] z_{2}=e^{-ix} [/mm]

So nun bin ich mir nicht sicher, wie man jetzt die Lösung aufschreibt. Also ich würde sie so aufschreiben: das Lösungs-Fundamentalsystem der DGL sieht so aus:

[mm] L=\begin{pmatrix} \frac{e^{ix}}{\sqrt{x}} \\ \frac{e^{-ix}}{\sqrt{x}} \\ \end{pmatrix} [/mm]

Ist das so ok? Oder gibt man das anders an?

Und wie würde ich vorgehen um ein reelles Fundamentalsystem dazu zu kriegen? Müsste ich dann die e-Fkt. zerlegen und nur die Realteile also nur die cosinuse hinschreiben?

        
Bezug
Fundamentalsystem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Di 14.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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