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| Aufgabe | | Im Anhang solltet ihr den Beweis von Eaton für den Fundamentalsatz der Algebra finden. Ist nur eine Seite lang... |
Hi!
Ich will den oben genannten Beweis verstehen, leider weiß ich aber noch nicht mal, was genau darin gemacht wird.
Angefangen bei [mm] P_1(x) [/mm] und [mm] P_2(x), [/mm] da weiß ich nicht, wo die beiden Polynome herkommen und warum da jetzt ein "r" drin vorkommt, verstehe ich nicht, was gemacht wird.
Kann mir jemand vielleicht mal in ein paar Stichpunkten (auf Deutsch wär gut^^) sagen, was nach und nach passiert?
Ich glaube, das würde mir sehr helfen...
Vielen Dank
EDIT: Anhang aus Copyrightgruenden entfernt. Wer Zugriff darauf hat: es handelt sich um den Artikel 'The Fundamental Theorem of Algebra' von J. Eaton im The American Mathematical Monthly, 67(6), 1960, p. 578-579. (![[]](/images/popup.gif) JSTOR)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Martin
> Im Anhang solltet ihr den Beweis von Eaton für den
> Fundamentalsatz der Algebra finden. Ist nur eine Seite
> lang...
>
> Ich will den oben genannten Beweis verstehen, leider weiß
> ich aber noch nicht mal, was genau darin gemacht wird.
> Angefangen bei [mm]P_1(x)[/mm] und [mm]P_2(x),[/mm] da weiß ich nicht, wo
> die beiden Polynome herkommen und warum da jetzt ein "r"
> drin vorkommt, verstehe ich nicht, was gemacht wird.
Also: es soll ja gezeigt werden, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten als Produkt von quadratischen und linearen Polynomen ueber [mm] $\IR$ [/mm] geschrieben werden kann. Dies wird per Induktion nach dem Grad $n$ gemacht. Dazu nimmt man sich halt ein Polynom $P$. Soweit ist's dir sicher noch klar 
Das Polynom [mm] $P_1$ [/mm] ist jetzt gerade [mm] $P_1(x) [/mm] = P(r x)$: das ist gerade die Transformation, von der vorher geredet wird, wenn [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] der Betrag einer Nullstelle von $P$ ist.
Das Polynom [mm] $P_2$ [/mm] kann man auch schreiben als [mm] $P_2(x) [/mm] = [mm] x^n P(\frac{r}{x})$. [/mm] (Ein Term [mm] $a_{n-i} x^i$ [/mm] wird dadurch in [mm] $x^n a_{n-i} (r/x)^i [/mm] = [mm] x^{n-i} a_{n-i} r^i$ [/mm] ueberfuehrt.)
Dann betrachtet man die Resultante von [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] in der Unbestimmten $x$; dies ist erstmal ein Polynom in $r$. Wenn [mm] $P_1$ [/mm] eine Nullstelle [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] hat, dann hat [mm] $P_1$ [/mm] mit $r := [mm] |z_0|$ [/mm] eine Nullstelle bei [mm] $\farc{z_0}{r} [/mm] =: [mm] z_1$ [/mm] mit [mm] $|z_1| [/mm] = 1$, und [mm] $P_2$ [/mm] hat eine Nullstelle bei [mm] $\overline{z_1} [/mm] = [mm] \frac{1}{z_1}$, [/mm] da [mm] $P_2(\overline{z_1}) [/mm] = [mm] P_2(\frac{1}{z_1}) [/mm] = [mm] P_2(\frac{r}{z_0}) [/mm] = P(r [mm] \frac{z_0}{r}) [/mm] = [mm] P(z_0) [/mm] = 0$ ist. Da [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] reelle Koeffizienten haben, ist [mm] $z_1$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle von [mm] $P_2$ [/mm] und [mm] $\overline{z_1}$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle von [mm] $P_1$, [/mm] womit [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] eine gemeinsame Nullstelle haben.
Die Resultante ist ja die Determinante einer Matrix die aus den Koeffizienten von [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] besteht; diese ist ein Polynom in $r$.
Mehr kann ich dir momentan nicht sagen, dazu kenn ich mich zu wenig mit Resultanten aus. Aber vielleicht kommst du damit schon weiter.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Sa 26.04.2008 | | Autor: | martin1984 |
Danke, jetzt hab ich wenigstens schonmal einen Teil verstanden
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| Aufgabe | | Es geht im Prinzip immer noch um den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra von Eaton. |
Darin ist die Rede von "Bézout´s form of the Resultant".
Was diese Bézoutform ist, keine Ahnung. Ich habe zwar eine Dissertation darüber gefunden, aber ich konnte nicht darin finden, wie man sie denn ausrechnet bzw. was sie macht.
Es würde schon reichen, wenn mir jemand mal die Gestalt davon aufschreiben könnte bzw. wie darauf komme, wenn ich die normale Resultante oder 2 Polynome habe!
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 27.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Martin
> Darin ist die Rede von "Bézout´s form of the Resultant".
> Was diese Bézoutform ist, keine Ahnung. Ich habe zwar eine
> Dissertation darüber gefunden, aber ich konnte nicht darin
> finden, wie man sie denn ausrechnet bzw. was sie macht.
In dem Artikel wird per Fussnote an der Stelle auf ein Buch (?) verwiesen. Ich vermute, dass sich die Definition dort findet.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 28.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hast du noch deine ausarbeitung zu diesem thema?
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