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Fundamentalsatz der Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mi 31.05.2006
Autor: benta

Aufgabe
Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den Fundamentalsatz der Algebra.

Mir ist nur der Beweis mit Hilfe der Sätze von Weierstrass und Liouville aus der Funktionentheorie bekannt.
Bitte um Hilfe.

        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo.

> Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den
> Fundamentalsatz der Algebra.
>
>  Mir ist nur der Beweis mit Hilfe der Sätze von Weierstrass
> und Liouville aus der Funktionentheorie bekannt.

Das ist auch die Standardmethode.

> Bitte um Hilfe.

Mach doch mal nen Anfang, indem du hier etwa die Aussage des Satzes von Rouche hinschreibst.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Mi 31.05.2006
Autor: benta

Satz von Rouché: Seien f(z) und g(z) im Sterngebiet G holomorph. [mm] \gamma [/mm] berande ein Gebiet G' [mm] \subset [/mm] G.  Auf [mm] \gamma [/mm] gelte die Abschätzung |g(z)| < |f(z)|. Dann besitzen f(z) und f(z) + g(z) in G' die gleiche Gesamtordnung von Nullstellen.


Bezug
        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den
> Fundamentalsatz der Algebra.

Ich wuerde wie folgt vorgehen:

Fuer ein Polynom $p(z) = [mm] \sum_{k=0}^n a_k z^k$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ und $n > 0$ schau dir die Funktionen $f(z) := [mm] a_n z^n$ [/mm] und $g(z) := [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k$ [/mm] an. Es ist ja $p(z) = f(z) + g(z)$.

Du musst nun einen gross genugen Kreis um 0 waehlen, so dass auf dem Kreisrand $|f(z)| > |g(z)|$ ist (das geht weil [mm] $z^n$ [/mm] staerker waechst als [mm] $z^k$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k < n$; ist im Prinzip das gleiche wie beim normalen Beweis per Liouville, wo man damit zeigt dass $1/p(z)$ fuer $z [mm] \to \infty$ [/mm] beschraenkt ist).

Und jetzt wende den Satz von Rouche an.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Mi 31.05.2006
Autor: benta

Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter.

Bezug
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