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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 30.09.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Warum zerfällt jedes quadratische Polynom mit Koeffizienten in [mm] \IC [/mm] über [mm] \IC? [/mm] |
Die Antwort dazu ist natürlich der Fundamentalsatz, allerdings benutze ich diese aussage auch im Beweis des Fundamentalsatzes und daher kann ich ihn hier nicht verwenden, dass wäre ein Ringschluss.
Mir ist leider überhaupt nicht klar wie das zu beweisen ist, aber ich glaube man müsste dazu die Wurzel von i berechnen und ich weiß leider nicht mehr wie das geht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ich bin den Beweis so angegangen:
Seien a,b,c [mm] \in \IC:
[/mm]
[mm] az^2+bz+c=0
[/mm]
Kann man umschreiben zu:
[mm] z^2+\bruch{b}{a}z+\bruch{c}{a}=0
[/mm]
Wir müssen also nur ein normiertes Polynom zweiten Grades betrachten:
[mm] z^2+az+b=0
[/mm]
Dann können wir mit p-q-Formel schreiben:
[mm] z_{1,2}=-\bruch{a}{2}+-\wurzel{\bruch{a^2}{4}-b}
[/mm]
Aber warum liegen die jetzt in [mm] \IC?
[/mm]
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir müssen also nur ein normiertes Polynom zweiten Grades
> betrachten:
>
> [mm]z^2+az+b=0[/mm]
>
> Dann können wir mit p-q-Formel schreiben:
> [mm]z_{1,2}=-\bruch{a}{2}+-\wurzel{\bruch{a^2}{4}-b}[/mm]
>
> Aber warum liegen die jetzt in [mm]\IC?[/mm]
Weil du in [mm] $\IC$ [/mm] zu jeder Zahl $p$ eine Quadratwurzel [mm] $q\in\IC$ [/mm] konstruieren kannst, zum Beispiel durch Verwendung der Polardarstellung.
[mm] $\bruch{a^2}{4}-b\in\IC$, [/mm] daher gibt es eindeutig bestimmte reelle Zahlen [mm] $0\le [/mm] r$, [mm] $0\le\varphi<2\pi$ [/mm] mit
[mm] \bruch{a^2}{4}-b =re^{i\varphi}[/mm]
Die komplexe Zahl [mm] $q=\sqrt{r}e^{i\varphi/2} [/mm] $ ist eine Quadratwurzel von [mm] $\bruch{a^2}{4}-b$, [/mm] d.h. [mm] $q^2=\bruch{a^2}{4}-b$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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