Fundamentallösung von LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fundamentallösung folgender linearer Gleichungssysteme und bennen Sie explizit durchgeführte Zeilen- und Spalten-Umformungen:
a)
[mm] 2x_2-x_3=1
[/mm]
[mm] -2x_1+3x_3=-1
[/mm]
[mm] x_1-3x_2=-1
[/mm]
b)
[mm] x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5=0
[/mm]
[mm] -x_1-2x_2-2x_3+2x_4+x_5=0
[/mm]
[mm] 2x_1+4x_2+3x_3-x_4=0
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+2x_3-2x_4-x_5=0
[/mm]
und c)
[mm] 3x_1+x_2-5x_3-5x_4=1
[/mm]
[mm] 4x_1-3x_2+x_3+3x_4=-1
[/mm]
[mm] 2x_1+0x_2+2x_3-4x_4=2
[/mm]
[mm] -4x_1+2x_2-3x_3+2x_4=3 [/mm] |
Hallo,
meine Fragen hierzu:
Ich weiß wohl, wie ich inhomogene lineare Gleichungssysteme löse, aber nicht, was gesondert bei der Frage nach einer Fundamentallösung gefragt ist. Was macht eine Fundamentallösung aus? Und wie löse ich homogene Gleichungssysteme (von der 0 als Trivial-Lösung einmal abgesehen)?
Viele Grüße,
Commotus
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Hallo Commotus,
> Berechnen Sie die Fundamentallösung folgender linearer
> Gleichungssysteme und bennen Sie explizit durchgeführte
> Zeilen- und Spalten-Umformungen:
>
> a)
>
> [mm]2x_2-x_3=1[/mm]
> [mm]-2x_1+3x_3=-1[/mm]
> [mm]x_1-3x_2=-1[/mm]
>
> b)
>
> [mm]x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5=0[/mm]
> [mm]-x_1-2x_2-2x_3+2x_4+x_5=0[/mm]
> [mm]2x_1+4x_2+3x_3-x_4=0[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+2x_3-2x_4-x_5=0[/mm]
>
> und c)
>
> [mm]3x_1+x_2-5x_3-5x_4=1[/mm]
> [mm]4x_1-3x_2+x_3+3x_4=-1[/mm]
> [mm]2x_1+0x_2+2x_3-4x_4=2[/mm]
> [mm]-4x_1+2x_2-3x_3+2x_4=3[/mm]
> Hallo,
> meine Fragen hierzu:
>
> Ich weiß wohl, wie ich inhomogene lineare Gleichungssysteme
> löse, aber nicht, was gesondert bei der Frage nach einer
> Fundamentallösung gefragt ist. Was macht eine
> Fundamentallösung aus? Und wie löse ich homogene
> Gleichungssysteme (von der 0 als Trivial-Lösung einmal
> abgesehen)?
Eine Fundamentallösung ist eine Lösung die das LGS immer löst.
Demnach handelt es sich um Lösungen, die das LGS A x = 0 lösen.
Kurz gesagt, Fundamentallösungen sind Lösungen des homogenen LGS.
Homogene LGS'e löst Du genauso wie Du die inhomogenen LGS'e gelöst hast. Nur das bei homogene LGS'en die rechte Seite der Nullvektor ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
nun sind aber das erste und dritte lineare Gleichungssystem nicht homogen, sondern inhomogen. Und gerade diese Inhomogenen gilt es doch zu lösen, oder? Gibt es dann etwa keine Fundamentallösung?
Offensichtlich ist das erste (inhomogene) LGS nicht lösbar, was wäre dann die Fundamentallösung? Die leere Menge?
Erhalte ich bei Lösen des homogenen LGS nicht immer die Null-Lösung als einzige Lösung? Die rechte Seite vom Gleichheitszeichen bleibt ja stets null!
Gruß,
Commotus
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Hallo Commotus,
> Hallo,
>
> nun sind aber das erste und dritte lineare Gleichungssystem
> nicht homogen, sondern inhomogen. Und gerade diese
> Inhomogenen gilt es doch zu lösen, oder? Gibt es dann etwa
> keine Fundamentallösung?
Doch, auch wenn es nur die Nulllösung ist.
> Offensichtlich ist das erste (inhomogene) LGS nicht
> lösbar, was wäre dann die Fundamentallösung? Die leere
> Menge?
Eine Fundamentallösung existiert immer.
Es gibt in dem Fall nur keine spezielle Lösung des LGS.
> Erhalte ich bei Lösen des homogenen LGS nicht immer die
> Null-Lösung als einzige Lösung? Die rechte Seite vom
> Gleichheitszeichen bleibt ja stets null!
Nicht immer.
Gruß
MathePower
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:51 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Okay, soviel dazu.
Doch könntest du mir bitte anhand des ersten LGS kurz erläutern, was die Fundamentallösung ist?
Ich erhalte durch Umformungen folgendes:
[mm] x_1-1,5x_2=0,5
[/mm]
[mm] x_2-1,5x_3=0,5
[/mm]
0=0
Wie gehts weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Sa 21.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Commotus!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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