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Fundamentalgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:01 Do 14.08.2008
Autor: dazivo

Hallo zusammen! Ich beschäftigte mich vor kurzem ein wenig mit der Fundamentalgruppe. Und da tauchte eine "simple" Frage auf, die irgenwie unüberwindbar schien:
Gibt es einen Topologischen Raum mit der Fundamentalgruppe  [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] ?
Oder allgemeiner:
Gibt es zu jeder Gruppe G einen Topologischen Raum mit Fundamentalgruppe isomorph zu G?
Vielleicht hat jemand eine Idee! Danke

Ich habe ich diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fundamentalgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:18 Do 14.08.2008
Autor: felixf

Hallo

> Hallo zusammen! Ich beschäftigte mich vor kurzem ein wenig
> mit der Fundamentalgruppe. Und da tauchte eine "simple"
> Frage auf, die irgenwie unüberwindbar schien:
>  Gibt es einen Topologischen Raum mit der Fundamentalgruppe
>  [mm]\IZ[/mm] / 3 [mm]\IZ[/mm] ?
>  Oder allgemeiner:
> Gibt es zu jeder Gruppe G einen Topologischen Raum mit
> Fundamentalgruppe isomorph zu G?
>  Vielleicht hat jemand eine Idee! Danke

Laut der []englischsprachigen Wikipedia ist dies moeglich:

Every group can be realized as the fundamental group of a connected CW-complex of dimension 2 (or higher). As noted above, though, only free groups can occur as fundamental groups of 1-dimensional CW-complexes (that is, graphs).

Every finitely presented group can be realized as the fundamental group of a compact, connected, smooth manifold of dimension 4 (or higher). But there are severe restrictions on which groups occur as fundamental groups of low-dimensional manifolds. For example, no free abelian group of rank 4 or higher can be realized as the fundamental group of a manifold of dimension 3 or less.


(Endlich praesentierbare Gruppen sind Gruppen, die isomorph zu einer freien Gruppe mit endlich vielen Erzeugern modulo einer endlich erzeugten Untergruppe sind.)

LG Felix


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