Für welches n ? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:22 Mo 24.10.2011 | | Autor: | omarco |
| Aufgabe | [mm] 2^{n}\le n^{2} [/mm] n ist eEement der Natürlichen Zahlen.
Für welches n gilt die Ungleichung |
Ich habe versucht die aufgabe mittels induktion zu lösen.
induktionsannahme : [mm] 2^{n}\ge n^{2}
[/mm]
induktionsschluss : [mm] 2^{n+1}\ge (n+1)^{2}
[/mm]
die linke seite habe ich umgeformt zu
[mm] 2^{n}*2 [/mm] --> [mm] 2^{n}*2\ge 2*n^{2}
[/mm]
--> [mm] 2*n^{2} \ge (n+1)^{2}
[/mm]
stimmt das alles soweit bis hierhin. Wenn ich auflöse ,komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 Mo 24.10.2011 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
steht bei deiner Ungleichung [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] ? In einem der beiden Fälle hat die Ungleichng nur endlich viele Lösungen, im anderen gilt sie ab einem gewissen n und kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mo 24.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Wieso kommst du nicht auf das richtige Ergebnis
[mm] $2*n^{2} \ge (n+1)^{2}$
[/mm]
[mm] $n^2 \ge [/mm] 2n+1$
was für [mm] $n\ge [/mm] 3$ richtig ist!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 24.10.2011 | | Autor: | CatDog |
Die Induktionsbehauptung gilt aber erst ab 4 ( [mm] 2^{3} [/mm] < [mm] 3^{2} [/mm] )
Gruss CatDog
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mo 24.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Wenn, dann kannst du nur [mm] $2^n \ge n^2$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 4$ beweisen, was du ja auch in deiner Induktionsbehauptung so schreibst und nicht <, wie in deiner Aufgabe formuliert.
Wenn der Beweis der Induktionsbehauptung für [mm] $n\ge [/mm] 2$ gilt (wie ich ausgeführt habe), dann erst recht für [mm] $n\ge [/mm] 4$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 24.10.2011 | | Autor: | omarco |
Also die Aufgabe steht, dass [mm] n^{2}\le2^{2} [/mm] ist. man darf die doch einfach umdrehen. ansonsten wüsste ich nicht wie ich anfangen sollte?
also in der lösung steht n=1,2 und n [mm] \ge [/mm] 4
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Hallo omarco,
etwas mehr Sorgfalt, bitte.
> Also die Aufgabe steht, dass [mm]n^{2}\le2^{2}[/mm] ist.
Das steht da sicher nicht. Da aber schon nachgefragt wurde, was da nun eigentlich steht, solltest Du Dir langsam mal Mühe geben, wenigstens die Aufgabe fehlerfrei abzuschreiben. Sonst hat hier echt niemand mehr Lust, Dich bei dieser Lösung zu beraten.
> man darf
> die doch einfach umdrehen.
Klar. Ob Du das von links oder von rechts liest, ist egal.
> ansonsten wüsste ich nicht wie
> ich anfangen sollte?
> also in der lösung steht n=1,2 und n [mm]\ge[/mm] 4
Daraus kann man ja endlich mal die Aufgabe rekonstruieren.
Gefragt war also:
Für welche n ist [mm] n^2\le 2^n [/mm] erfüllt?
Zum Vorgehen: für n=0, n=1, n=2, n=3, n=4 rechnet man mal nach, wies denn so aussieht. Komisch. Nur für n=3 stimmt das nicht. Also untersucht man noch alles für n>4, aber das kann man halt nicht mehr einzeln ausrechnen, es gibt ja unendlich viele weitere n.
Da Du aber beim Ausprobieren schon die beiden Nullstellen n=2 und n=4 gefunden hast, ist es hier die einfachste Lösung, sich der Analysis zu bedienen und die Funktion [mm] f(x)=2^x-x^2 [/mm] betrachten. Wenn Du ihre zweite Ableitung ansiehst, weißt Du auch, ob es für x>4 noch eine weitere Nullstelle geben wird.
Grüße
reverend
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