Für welches"a"=max. Fläche? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
| Aufgabe | 1) Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] - 3x
Für welches a schließt die Gerade h(x) = ax mit dem Graphen der Funktion f(x) eine maximale Fläche ein? |
Hallo,
kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann? Ich komm einfach nicht voran. Ich muss ja eigentlich zuerst die Schnittpunkte errechnen - aber das geht ja nur in abhängigkeit von a, richtig? Ich hab dann für x= [mm] \wurzel{9+3a} [/mm] raus... stimmt das?
Ich bin für jede Hilfe dankbar, Donnerstag ist Prüfung...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> 1) Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] - 3x
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> Für welches a schließt die Gerade h(x) = ax mit dem
> Graphen der Funktion f(x) eine maximale Fläche ein?
> Hallo,
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> kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie ich diese
> Aufgabe lösen kann? Ich komm einfach nicht voran. Ich muss
> ja eigentlich zuerst die Schnittpunkte errechnen - aber das
> geht ja nur in abhängigkeit von a, richtig? Ich hab dann
> für x= [mm]\wurzel{9+3a}[/mm] raus... stimmt das?
Nein.
$ [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] - 3x=ax [mm] \gdw \bruch{1}{3} x^3 [/mm] - (3+a)x =0 [mm] \gdw [/mm] x=0 $ oder [mm] $\bruch{1}{3} x^2 [/mm] - (3+a) =0 [mm] \gdw x^2= [/mm] 9+3a$ oder $x=0$
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
> Ich bin für jede Hilfe dankbar, Donnerstag ist
> Prüfung...
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
Ok, x = 0 hab ich einfachmal spontan übersehen...aber der erste Schnittpunkt war dann ja korrekt..oder etwa nicht?
D.h, dass die Integralgrenzen bei 0 und [mm] \wurzel{9+3a} [/mm] liegen. Was ist denn nun der nächste Schritt, um ein a=max. zu bestimmen? Ich hätte gedacht, dass ich [mm] \wurzel{9+3a} [/mm] ableiten muss und dann den Extremwert bestimme... aber wenn ich ableite, fällt a ja weg.
Ihr müsst wirklich denken, ich sei doof :D Aber ich steh komplett aufm' Schlauch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
a fällt ja überhaupt nicht weg! wenn
f(x)= [mm] \wurzel{9+3a}
[/mm]
dann ist
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{9+3a}} [/mm] - richtig?
Und dann den Extrempunkt bestimmen? kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 08.06.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> a fällt ja überhaupt nicht weg! wenn
> f(x)= [mm]\wurzel{9+3a}[/mm]
> dann ist
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{9+3a}}[/mm] - richtig?
Nein, das stimmt nicht, weil die rechte Seite gar nicht von x abhängt. f'(x) wäre dann 0. Aber vielleicht meinst du die Ableitung nach a, also f'(a) sozusagen. Dann ist es leider auch falsch, weil die innere Ableitung fehlt. Und drittens: Was willst du überhaupt mit dieser Ableitung? Das ist doch deine Integrationsgrenze. Und viertens: Hast du dir mal eine kleine Zeichnung der Angelegenheit gemacht? Welche Fläche genau willst du denn maximieren?
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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Hallo ania,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst diese Schnittstelle (Achtung: es gibt hier zwei mit [mm] $\red{\pm}\wurzel{9+3a}$ [/mm] ) in die entsprechende Flächenformel einsetzen:
$$A(a) \ = \ [mm] 2*\integral_0^{\wurzel{9+3a}}{g_a(x)-f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral_0^{\wurzel{9+3a}}{a*x-\left(\bruch{1}{3}*x^3-3*x\right) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Der Faktor 2 entsteht durch die Symmetrie der beiden Teilflächen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Und noch mal Achtung: Damit es mehr als einen Schnittpunkt gibt muß a>-3 sein !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
... man ich bin echt ne hohle Nuss :D
@Roadrunner - wie bestimme ich denn a nun so, dass die Fläche von f(x) und h(x) maxmimal ist? Wahrscheinlich muss ich die Fläche erstmal in Abhängigkeit von a errechnen - das krieg ich hin. und dann? Ich bitte euch nicht um die Lösung, nur um den Rechenschritt ;)
Vielen Dank an euch alle!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> ... man ich bin echt ne hohle Nuss :D
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> @Roadrunner - wie bestimme ich denn a nun so, dass die
> Fläche von f(x) und h(x) maxmimal ist? Wahrscheinlich muss
> ich die Fläche erstmal in Abhängigkeit von a errechnen -
Bingo !!
> das krieg ich hin. und dann?
bezeichnen wir die Fläche (in Abhängigkeit von a ) mit F(a)
du hast also eine Funktion von a. Diese Funktion sollst Du maximieren (Hochpunkt bestimmen)
FRED
> Ich bitte euch nicht um die
> Lösung, nur um den Rechenschritt ;)
>
> Vielen Dank an euch alle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Frage ist beantwortet
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:13 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
Als Fläche A(a) hab ich nu raus
A(a) = [mm] \wurzel{9+3a}^a [/mm] - 31,5a + [mm] \bruch{4,5*a^2}{2} [/mm] - 54
[mm] =\wurzel{9+3a}^a [/mm] - 31,5a + [mm] 2,25a^2 [/mm] - 54
und
A'(a) = [mm] a\wurzel{9+3a}^a-1 [/mm] +4,5a + 31,5
oder hat sich (mal wieder...) ein Fehler eingeschlichen?
und mri bereitet [mm] a\wurzel{9+3a}^a-1 [/mm] ein wenig sorgen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
Ich meine natürlich
A'(a) = [mm] a\wurzel{9+3a}^{a-1} [/mm] +4,5a + 31,5
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 08.06.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo ania!
Wie kommst Du hier auf das $a_$ im Exponenten? Bitte mal vorrechnen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
[mm] \integral_{a}^{\wurzel{9+3a}}{a*x - (\bruch{1}{3}*x^2 -3x) dx}
[/mm]
Stammfunktion wäre dann doch
[mm] [x^a [/mm] - [mm] \bruch{1}{12}x^4 -1,5x^2]
[/mm]
und wenn ich dann die grenzen einsetze, hab ich doch
[mm] \wurzel{9-3a}^a [/mm] ..... oder etwa nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{a}^{\wurzel{9+3a}}{a*x - (\bruch{1}{3}*x^2 -3x) dx}[/mm]
Wie kommst Du auf die untere Integrationsgrenze a ?????
>
> Stammfunktion wäre dann doch
>
> [mm][x^a[/mm] - [mm]\bruch{1}{12}x^4 -1,5x^2][/mm]
Das ist doch nicht Dein Ernst: Stammfunktion von ax ist [mm] x^a [/mm] ?????
andererseits hast Du richtig: Stammfunktion von 3x ist [mm] 1,5x^2
[/mm]
Nach Deinen Regeln wäre dann [mm] 1,5x^2=x^3 [/mm] !!!!
Nein, nein, eine Stammfunktion von ax ist [mm] \bruch{a}{2}x^2
[/mm]
FRED
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> und wenn ich dann die grenzen einsetze, hab ich doch
>
> [mm]\wurzel{9-3a}^a[/mm] ..... oder etwa nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 08.06.2010 | | Autor: | ania |
Oh man, das war ein blonder - nein - ein SEHR blonder Moment von mir. ... dann ist das ja jetzt quasi ein Kinderspiel. Vielen, Vielen, Vielen Dank!!
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