Für welche x gilt: < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Beweisstruktur folgender Aufgabe:
Für welche reellen x gilt:
[mm] \wurzel{x^2+2x}-\wurzel{x^2+2+1}\le1
[/mm]
Ich muss hier den Definitionsbereich für x angeben oder?
Der wäre für alle x [mm] \le [/mm] 1 ohne -1 ( da dann die erste Wurzel nicht definiert wäre). kann mir wer helfen und erklären,wie ich so etwas beweise?
Danke,
Knuddelbunti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also ich weiss ja nicht, wie du auf deine Aussage kommst, aber gehen wir das nochmal zusammen durch.Als erstes denke ich mal, dass unter der Zweiten Wurzel [mm]x^2 + 2x + 1[/mm] stehen soll, ansonsten hättest du ja gleich [mm]x^2 + 3[/mm] geschrieben. Um zu sehen, wo das ganze jetzt definiert ist, formen wir das mal um:
[mm]\wurzel{x^2+2x}-\wurzel{x^2+2x+1} = \wurzel{x(x+2)}-\wurzel{(x+1)^2}[/mm]
Wie du schon richtig erkannt hast, ist die Wurzel ja nur definiert, wenn die Diskriminante nicht negativ ist. [mm](x+1)^2[/mm] wird nie negativ, also können wir das getrost ignorieren, bleibt nur x(x+2) zu betrachten:
Wie man leicht erkennt, ist das eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen -2 und 0 und somit ist der Ausdruck für [mm]-2 < x < 0[/mm] negativ und die Wurzel ist nicht definiert.
Aus diesem Grund ist der Gesammtausdruck [mm]\wurzel{x^2+2x}-\wurzel{x^2+2x+1} [/mm] für alle [mm]x \in \IR\setminus(-2,0)[/mm] definiert.
Bleibt noch zu überlegen, für welche x aus dem Definitionsbereich die Ungleichung stimmt:
Wie man leicht erkennt, gilt für alle x:
[mm]x^2 + 2x < x^2 + 2x + 1[/mm]
Und damit auch für alle x aus dem Definitionsbereich:
[mm]\sqrt{x^2 + 2x} < \sqrt{x^2 + 2x +1}[/mm]
Daraus folgt direkt: [mm]\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + 2x +1} < 0 < 1[/mm]
D.h. die Ungleichung gilt für alle x aus deinem Definitionsbereich.
MfG,
Gono.
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Entschuldige, ich bin in der Zeile verrutscht. Die 2. Wurzel heißt: [mm] \wurzel[{x^2+x-1}.
[/mm]
Also stelle ich als Behauptung auf: Es gilt für alle [mm] x\in\IR: \wurzel{x^2+2x}-\wurzel{x^2+x-1}, [/mm] dann der Definitionsbereich.
Als Beweis dann einen direkten Beweis, in dem man das Hauptaugenmerk auf die 2. Wurzel legt, oder?
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Hiho,
der Beweis ist nicht viel anders als den, den ich geführt hab.
Erstmal schauen, für welche x das überhaupt definiert ist und dann durch die Zusatzbedingung ergänzen, für welche x die Ungleichung gilt. Machs mal soweit du kommst, wenn du feststeckt poste hier 
MfG,
Gono.
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