Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
In einem Prüfungsprotokoll ist die folgende Aufgabe gestellt worden:
" Nennen Sie den Satz von Fubini. Dabei erklären Sie die Produktmeßräume sowie deren Bescheibung, und wie sie definiert sind.
Wende den Satz auf die Funktion [mm] f(x) = e^{-x^2} [/mm]
Satz von Fubini :
Sei f eine integrierbare numerische Funktion auf [mm] \mathbb R^N , \ N = n + m [/mm]. Für fast alle [mm] x \in \mathbb R^n [/mm] ist dann
die Funktion [mm] y [mm] \to [/mm] f(x,y) integrierbar auf [mm] \mathbb R^m [/mm] , die f.ü. definierte Funktion [mm] x \to \integral_{ \mathbb R^m } f d \lambda^m (y) [/mm] ist integrierbar auf [mm] \mathbb R^n [/mm] und es gilt:
[mm] \integral_{ \mathbb R^N } f (x,y) d \lambda^2 (x.y) = \integral_{\mathbb R^n} ( \integral_{ \mathbb R^m} f d \lambda^m) d \lambda^n = \integral_{\mathbb R^m} ( \integral_{ \mathbb R^n} f d \lambda^n ) d \lambda^m [/mm]
Also, sagt der Satz von Fubini aus, dass unter gewissen Voraussetzungen man mehrdimensionale Integrale und eindimensionale unterteilen und somit das Integral vereinfacht.
Die Anwendung des Satzes von Fubini auf die Funktion habe ich folgendermaßen gelöst, wobei ich nicht weiß, ob dies so richtig ist, da ich auch die Transformationsformel benutzt habe.
[mm] ( \integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx )^2 = (\integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx) \cdot (\integral_{- \infty}^{\infty} e^{-y^2} dy ) [/mm]
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty} \integral_{- \infty}^{\infty} e^{-(x^2 +y^2) } dxdy =\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2 \pi} e^{-r^2} \cdot r \cdot dr \cdot dt [/mm]
[mm] = 2 \pi \integral_{0}^{\infty} r \cdot e^{-r^2} dr = \pi [/mm]
Somit ist dann [mm] \integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = ( \pi )^{ \bruch{1}{2} } [/mm]
Wäre das so richtig ?
Und zu der Frage mit den Produktmessäumen, kann ich nur mein Wissen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden, da wir in Analysis III diese nicht definiert haben....
Seine [mm] ( \Omega_i, \mathcal A_i ) i \in \mathbb N [/mm] Messraüme.
Unter dem Produktmessraum der Messräume [mm] ( \Omega_i, \mathcal A_i ) i \in \mathbb N [/mm] vertseht man ds Tupen [mm] ( \Omega, \mathcal A ) [/mm] mit
[mm] \omega = \times_{i=1}^{n} \Omega_i [/mm] und
[mm] \mathcal A = \otimes_{i=1}^{n} \mathcal A_i [/mm]
wobei [mm] \otimes_{i=1}^{n} \mathcal A_i = \sigma ( \times_{i=1}^{n} \mathcal A_i ) [/mm]
Wäre denn die Frage insgesamt so richtig beantwortet? Oder fehlt etwas Entscheidenes?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Das Integral hast du völlig richtig berechnet, beim Rest kenne ich mich nicht aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Vielen Dank für die Antwort!
Dennoch bin ich mir trotz des richtigen Ergebnisses nicht sicher, ob das der Weg ist, der gefragt wurde ( mit der Transformationsformel ) oder ob es einen anderen Weg, nur den Fubini zu benutzen gibt, um auf das Ergebnis zu kommen.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Für diese Aufgabe habe ich noch nie einen anderen Weg gesehen. Allerdings lassen sich die Überlegungen noch graphisch darstellen, aber das ändert nichts am Vorgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich hätte noch eine kleine Frage zu meiner Rechnung:
> Wende den Satz auf die Funktion [mm]f(x) = e^{-x^2}[/mm]
> Die Anwendung des Satzes von Fubini auf die Funktion habe ich > folgendermaßen gelöst, wobei ich nicht weiß, ob dies so richtig ist, da ich > auch die Transformationsformel benutzt habe.
[mm]( \integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx )^2 = (\integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx) \cdot (\integral_{- \infty}^{\infty} e^{-y^2} dy ) [/mm]
[mm] = \integral_{- \infty}^{\infty} \integral_{- \infty}^{\infty} e^{-(x^2 +y^2) } dxdy =\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2 \pi} e^{-r^2} \cdot r \cdot dr \cdot dt[/mm]
[mm]= 2 \pi \integral_{0}^{\infty} r \cdot e^{-r^2} dr = \pi[/mm]
Somit ist dann [mm]\integral_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = ( \pi )^{ \bruch{1}{2} }[/mm]
Das dieses Ergebnis richtig ist, weiß ich bereits.
Wenn ich das richtig sehe, wird der Satz von Fubini beim 2. Gleichheitszeichen angewendet, oder?
Aber habe ich die Voraussetzungen des Satzes überhaupt erfüllt?
Kann ich denn einfach so sagen, dass meine Funktion integrierbar ist?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mo 11.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Das dieses Ergebnis richtig ist, weiß ich bereits.
> Wenn ich das richtig sehe, wird der Satz von Fubini beim
> 2. Gleichheitszeichen angewendet, oder?
> Aber habe ich die Voraussetzungen des Satzes überhaupt
> erfüllt?
Du brauchst die Integrierbarkeit von [mm] $e^{-(x^2 +y^2) }$ [/mm] über ganz [mm] $\IR^2$. [/mm] Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Du könntest auch mit dem Satz von Fubini-Tonelli argumentieren: da brauchst du nur, dass [mm] $e^{-(x^2 +y^2) }$ [/mm] messbar und nichtnegativ ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 17.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Hallo, folgende Anmerkung zum Satz von Fubini:
Zunächst ist deine Fkt. [mm]f[/mm] nichtnegativ, monoton und stetig.
Damit kannst Du aus dem Bereichsintegral ein Doppelintegral machen und von innen nach außen integrieren. Fubini gibt aber unter diesen Voraussetzungen noch mehr her. Es kommt nämlich nicht auf die Integrationsreihenfolge an und das ist das Interessante dabei. Du hättest also auch zuerst nach [mm]d\varphi[/mm] und dann nach [mm]dr[/mm] integrieren können. Deine Lösung ist richtig.
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