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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 So 02.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr auch!
Bei mir hakt's gerade mal bei einer wahrscheinlich gar nicht so schwierigen Umformung aus der Vorlesung...
[mm] \integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx} [/mm] = [mm] \integral{[\integral_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i}dx}]*f(y)*e^{-}dy}
[/mm]
das sollte wohl so gelten, wegen Fubini. Aber ich komme bisher nur soweit:
[mm] \integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx} [/mm] = [mm] \integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dy}dx} [/mm]
(das gilt meiner Meinung nach einfach, weil [mm] e^{-i} [/mm] nicht von y abhängt und somit in das andere Integral gezogen werden kann)
= [mm] \integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dx}dy}
[/mm]
(und das gilt dann nach dem Satz von Fubini, man kann ja die Integrale vertauschen!(?))
und jetzt? Wie komme ich jetzt auf den angegebenen Term?
ich frage mich, warum hier jetzt als Exponent bei e nicht mehr [mm] x,\xi [/mm] steht, sondern [mm] x-y,\xi, [/mm] und wo die zweite e-Funktion am Ende herkommt. Wer kann mir da weiterhelfen? Oder habe ich bis hierhin schon etwas falsch gemacht?
(Falls es jemanden interessiert: das ganze gehört zu der Berechnung von [mm] \hat{f\* g}, [/mm] den Faktor davor habe ich mal weggelassen...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Bastiane
> Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr auch!
dir auch ein gutes neues jahr!
> Bei mir hakt's gerade mal bei einer wahrscheinlich gar
> nicht so schwierigen Umformung aus der Vorlesung...
>
> [mm]\integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx}[/mm] =
> [mm]\integral{[\integral_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i}dx}]*f(y)*e^{-}dy}
[/mm]
kann es sein, dass du hier ein $i$ im letzten ausdruck vergessen hast, dass dieser also [mm]\int{[\int_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i\left}\, \textrm{d}x}]*f(y)*e^{- \blue{i} \left}\, \textrm{d}y} [/mm] heißen müsste, dann wäre mir die umformung klar!
was dabei verwendet wird ist (geschwollen ausgedrückt die linearität des skalraprodukts im ersten eintrag), also das gilt [m] \left< a + b, c \right> = \left< a, c \right> + \left [/m]. in diesem beispiel also
[m] \left< x, \xi \right> = \left< x - y + y, \xi \right> = \left< x - y, \xi \right> + \left< y, \xi \right> [/m]
> das sollte wohl so gelten, wegen Fubini. Aber ich komme
> bisher nur soweit:
> [mm]\integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dy}dx}[/mm]
> (das gilt meiner Meinung nach einfach, weil [mm]e^{-i}[/mm]
> nicht von y abhängt und somit in das andere Integral
> gezogen werden kann)
> = [mm]\integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dx}dy}
[/mm]
> (und das gilt dann nach dem Satz von Fubini, man kann ja
> die Integrale vertauschen!(?))
davon habe ich leider nicht wirklich ahnung, also glaube ich dir einfach mal 
> und jetzt? Wie komme ich jetzt auf den angegebenen Term?
nach obiger umformung erhälst du nun aus deinem letzten term
[m] = \int{\int{e^{-i\left}e^{-i\left< y, \xi \right>}f(y)g(x-y)\, \textrm{d}x} \, \textrm{d}y}
[/m]
da nun erfreulicherweise [m]f(y) [/m] und [m] e^{-i\left< y, \xi \right>} [/m] nicht mehr von $x$ abhängen darf man diese aus dem inneren integral ziehen und erhält somit
[mm]= \int{[\int_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i\left}\, \textrm{d}x}]*f(y)*e^{- i \left}\, \textrm{d}y} [/mm]
und das ist ja das, was du vermutlich erhalten wolltest.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Andreas!
Vielen vielen Dank für deine Antwort - und die kam auch noch so schnell!!! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") ![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
> > [mm]\integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx}[/mm] =
> >
> [mm]\integral{[\integral_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i}dx}]*f(y)*e^{-}dy}
[/mm]
>
> kann es sein, dass du hier ein [mm]i[/mm] im letzten ausdruck
> vergessen hast, dass dieser also
> [mm]\int{[\int_{\IR^n}{g(x-y)e^{-i\left}\, \textrm{d}x}]*f(y)*e^{- \blue{i} \left}\, \textrm{d}y}[/mm]
> heißen müsste, dann wäre mir die umformung klar!
Ja, sorry, da habe ich mich doch glatt vertippt bzw. einfach etwas vergessen... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> was dabei verwendet wird ist (geschwollen ausgedrückt die
> linearität des skalraprodukts im ersten eintrag), also das
> gilt [m]\left< a + b, c \right> = \left< a, c \right> + \left [/m].
> in diesem beispiel also
>
> [m]\left< x, \xi \right> = \left< x - y + y, \xi \right> = \left< x - y, \xi \right> + \left< y, \xi \right>[/m]
Danke - das hätte wahrscheinlich schon genügt (das Skalarprodukt war irgendwie noch nie mein Ding, dabei ist es glaube ich eigentlich gar nicht so schwierig), aber trotzdem danke, dass du es nochmal alles aufgeschrieben hast. So konnte ich es gleich durchlesen und werde es mir jetzt noch ausdrucken, dann kann ich es direkt zu den Sachen aus der Vorlesung heften. Ansonsten hätte ich mich heute wohl nicht mehr damit befasst, und wenn hätte ich es eh mit Bleistift in meine Aufzeichnungen gekritzelt. Und wer weiß, vielleicht hätte ich es doch nicht alleine hinbekommen und hätte nochmal nachfragen müssen...
Aber so ist ja alles okay - dank dir!
> > das sollte wohl so gelten, wegen Fubini. Aber ich komme
>
> > bisher nur soweit:
> > [mm]\integral{e^{-i}[\integral{f(y)g(x-y)dy}]dx}[/mm] =
>
> > [mm]\integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dy}dx}[/mm]
> > (das gilt meiner Meinung nach einfach, weil [mm]e^{-i}[/mm]
>
> > nicht von y abhängt und somit in das andere Integral
> > gezogen werden kann)
> > = [mm]\integral{\integral{e^{-i}f(y)g(x-y)dx}dy}
[/mm]
> > (und das gilt dann nach dem Satz von Fubini, man kann
> ja
> > die Integrale vertauschen!(?))
>
> davon habe ich leider nicht wirklich ahnung, also glaube
> ich dir einfach mal
Was soll das denn heißen? Was habe ich hier gemacht, wovon du keine Ahnung hast? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Aber es scheint ja richtig zu sein, denn so käme ich dann ja auf das richtige Ergebnis.
Viele Grüße und danke nochmal für die viele Tipparbeit (diese vielen Integrale und Potenzen können einem schon irgendwann auf den Keks gehen...  )
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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