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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Frobeniusnorm, induziert?
Frobeniusnorm, induziert? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Frobeniusnorm, induziert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 So 25.10.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Die durch [mm] ||.||_1 [/mm] (Betragssummennorm) induzierte Norm auf [mm] \mathbb{K}^{m\times n} [/mm] ist [mm] sup_{||x||_1=1}||Ax||_1. [/mm] Diese entspricht der Spaltensummennorm [mm] max_{1\le j \le n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|. [/mm]
(gezeigt)

Meine Frage:Ist die Frobeniusnorm: [mm] ||A||_F [/mm] := [mm] (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}} [/mm] die durch die euklidische Norm [mm] ||.||_2 [/mm] induzierte Norm?
ALso ist: [mm] ||A||_F [/mm] = [mm] sup_{||x||_2=1} ||Ax||_2 [/mm] ?

Ich konnte zeigen [mm] ||A||_F [/mm] ist einer obere Schranke für [mm] ||Ax||_2 \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{K}^n [/mm] mit [mm] ||x||_2=1: [/mm]
[mm] ||Ax||_2 =(\sum_{i=1}^m|\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j|^2)^\frac{1}{2} \le (\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n |a_{ij} [/mm] * [mm] x_j|)^2)^\frac{1}{2} \underbrace{\le}_{\mbox{Cauchy-Schwarz-Ungl}} \sqrt{\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2) * (\sum_{j=1}^n|x_j|^2)} [/mm] = [mm] ||x||_2 [/mm] * [mm] ||A||_F= [/mm] 1* [mm] ||A||_F [/mm]

Aber ist [mm] ||A||_F [/mm] auch die kleinste obere Schranke für [mm] ||Ax||_2 [/mm] ?
Sonst hat man meist x speziell gewählt sodass man dies zeigt. Ist es mir nur nicht gelungen oder ist es falsch?

        
Bezug
Frobeniusnorm, induziert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 So 25.10.2015
Autor: fred97


> Die durch [mm]||.||_1[/mm] (Betragssummennorm) induzierte Norm auf
> [mm]\mathbb{K}^{m\times n}[/mm] ist [mm]sup_{||x||_1=1}||Ax||_1.[/mm] Diese
> entspricht der Spaltensummennorm [mm]max_{1\le j \le n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|.[/mm]
>  
> (gezeigt)
>  
> Meine Frage:Ist die Frobeniusnorm: [mm]||A||_F[/mm] := [mm](\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}}[/mm]
> die durch die euklidische Norm [mm]||.||_2[/mm] induzierte Norm?



Nein ! Für die Einheitsmatrix E gilt: [mm] ||E||_F= \wurzel{n}. [/mm] Für jedes x mit [mm] ||x||_2=1 [/mm] haben wir jedoch [mm] ||Ex||_2=1. [/mm]

Die Norm [mm] ||*||_2 [/mm] kannst Du austauschen gegen jede(!) Norm auf [mm] \IR^n [/mm] !

D.h. die Frobeniusnorm wird von keiner Vektornorm induziert.

FRED

>  ALso ist: [mm]||A||_F[/mm] = [mm]sup_{||x||_2=1} ||Ax||_2[/mm] ?
>  Ich konnte zeigen [mm]||A||_F[/mm] ist einer obere Schranke für
> [mm]||Ax||_2 \forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{K}^n[/mm] mit [mm]||x||_2=1:[/mm]
>  [mm]||Ax||_2 =(\sum_{i=1}^m|\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j|^2)^\frac{1}{2} \le (\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n |a_{ij}[/mm]
> * [mm]x_j|)^2)^\frac{1}{2} \underbrace{\le}_{\mbox{Cauchy-Schwarz-Ungl}} \sqrt{\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2) * (\sum_{j=1}^n|x_j|^2)}[/mm]
> = [mm]||x||_2[/mm] * [mm]||A||_F=[/mm] 1* [mm]||A||_F[/mm]
>  
> Aber ist [mm]||A||_F[/mm] auch die kleinste obere Schranke für
> [mm]||Ax||_2[/mm] ?
>  Sonst hat man meist x speziell gewählt sodass man dies
> zeigt. Ist es mir nur nicht gelungen oder ist es falsch?


Bezug
                
Bezug
Frobeniusnorm, induziert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 So 25.10.2015
Autor: sissile

Danke für die Antwort!

Aber du beschränkst dich auf den quadratischen Spezialllfall (was ja für ein Gegenbeispiel reicht) denn sonst würde es ja nicht so passen?

LG,
sissi



Bezug
                        
Bezug
Frobeniusnorm, induziert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:46 Mo 26.10.2015
Autor: fred97


> Danke für die Antwort!
>  
> Aber du beschränkst dich auf den quadratischen
> Spezialllfall (was ja für ein Gegenbeispiel reicht)


Ja

> denn
> sonst würde es ja nicht so passen?


Das verstehe ich nicht. Nach meinem "Anstupser" solltest Du eigentlich in der Lage sein, auch im nichtquadratischen Fall ein Gegenbeispiel zu finden.

FRED

>  
> LG,
>  sissi
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Frobeniusnorm, induziert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mo 26.10.2015
Autor: sissile

Hallo,
Im nicht quadratischen Fall ist für n [mm] \ge [/mm] m: [mm] ||I_n||_F= \sqrt{m} [/mm] und für n<m: [mm] ||I_n||_F= \sqrt{n} [/mm]
Mein Problem ist:
Aus x mit $ [mm] ||x||_2=1 [/mm] $ folgt nicht $ [mm] ||I_n x||_2=1 [/mm] $ im nicht quadratischen Fall für n > m. Denn [mm] I_n*x [/mm] enthält nur die ersten m Komponenten von x,dannach nur 0en.
Also kann man es in dem nicht quadratischen Fall nicht so allgemein hinschreiben sondern muss ein konkretes Gegenbeispiel z.B.: [mm] x=e_1 [/mm] und [mm] n\ge2 [/mm] angeben.

Bezug
                                        
Bezug
Frobeniusnorm, induziert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Mo 26.10.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  Im nicht quadratischen Fall ist für n [mm]\ge[/mm] m: [mm]||I_n||_F= \sqrt{m}[/mm]
> und für n<m: [mm]||I_n||_F= \sqrt{n}[/mm]
>  Mein Problem ist:
>  Aus x mit [mm]||x||_2=1[/mm] folgt nicht [mm]||I_n x||_2=1[/mm] im nicht
> quadratischen Fall für n > m. Denn [mm]I_n*x[/mm] enthält nur die
> ersten m Komponenten von x,dannach nur 0en.
>  Also kann man es in dem nicht quadratischen Fall nicht so
> allgemein hinschreiben sondern muss ein konkretes
> Gegenbeispiel z.B.: [mm]x=e_1[/mm] und [mm]n\ge2[/mm] angeben.

Ja

FRED


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