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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] : I [mm] \to \IR^n [/mm] eine Frenetkurve und [mm] \beta(t) [/mm] := [mm] \alpha(\varphi(t)) [/mm] eine orientierungsumkehrende Umparametrisierung. Zeigen Sie:
a) [mm] \beta [/mm] ist eine Frenetkurve.
b) Die Frenetfahnen von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] stimmen in jedem Punkt der Spur überein.
c) Für die Frenetbeine von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gelten die Beziehungen
[mm] (e_k^p)^\beta [/mm] = [mm] \epsilon_k \cdot (e_k^p)^\alpha [/mm] für [mm] \epsilon_k \in \{\pm1\}, [/mm] und bestimmen Sie das Vorzeichen [mm] \epsilon_k [/mm] in Abhängigkeit von k und n.
Hinweis: Dies wurde in der Vorlesung für orientierungserhaltende Umparametrisierungen bereits gezeigt. Zeigen Sie hier: Es genügt, die Kurve [mm] \beta(t) [/mm] := [mm] \alpha(-t) [/mm] zu betrachten. |
Ich könnte hier etwas Hilfe gebrauchen:
Ist meine Lösung für a) so richtig?
[mm] \beta(t) [/mm] = [mm] \alpha(-t) [/mm] ; [mm] \beta'(t) [/mm] = [mm] -\alpha'(-t) [/mm] ; [mm] \beta''(t) [/mm] = [mm] \alpha''(-t) [/mm] ; ...
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.: [mm] \beta^{(k)}(t) [/mm] = [mm] (-1)^k \cdot \alpha^{(k)}(-t)
[/mm]
Bew.: mit Induktion
I.A.: k=0 [mm] \Rightarrow \beta(t) [/mm] = [mm] \alpha(-t)
[/mm]
I.S.: [mm] k\to [/mm] k+1 [mm] \Rightarrow \beta^{(k+1)}(t) [/mm] = [mm] (\beta^{(k)}(t))' [/mm] = [mm] ((-1)^k \cdot \alpha^{(k)}(-t))' [/mm] = [mm] (-1)^{k+1} \cdot \alpha^{(k+1)}(-t)
[/mm]
Z.z.: [mm] \beta'(t),...,\beta^{(n-1)}(t) [/mm] sind linear unabhängig
Bew.: [mm] (\beta'(t),...,\beta^{(n-1)}(t)) [/mm] = [mm] (-\alpha'(-t),...,(-1)^{n-1}\alpha^{(n-1)}(-t)). [/mm] Da [mm] \alpha [/mm] Frenet ist folgt: [mm] -\alpha'(-t),...,(-1)^{n-1}\alpha^{(n-1)}(-t) [/mm] sind linear unabhängig [mm] \Rightarrow \beta'(t),...,\beta^{(n-1)}(t) [/mm] sind linear unabhängig
[mm] \Rightarrow \beta [/mm] ist eine Frenetkurve
Wie fange ich mit b) und c) an?
LG
fagottator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 23.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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