FrbeniusNormalform<-> Jordanfo < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Mi 03.03.2010 | | Autor: | lisab |
| Aufgabe | | Ich habe eine Matrix in Frobeniusnormalform gegeben, wie sieht dann die Jordanform aus und umgekehrt. |
Hey, weiß leider nicht, wie man die beiden Normalformen ineinander überführt. wie man das char. Polynom aus der Frobeniusform bestimmt ist mir klar, aber das reicht mit ja nicht für die Jordanform...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 Mi 03.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe eine Matrix in Frobeniusnormalform gegeben, wie
> sieht dann die Jordanform aus und umgekehrt.
> Hey, weiß leider nicht, wie man die beiden Normalformen
> ineinander überführt. wie man das char. Polynom aus der
> Frobeniusform bestimmt ist mir klar, aber das reicht mit ja
> nicht für die Jordanform...
Das ganze geht natuerlich nur, wenn alle Nullstellen des char. Polynoms auch im Koerper liegen; ansonsten gibt es gar keine Jordansche Normalform.
Falls also die Frobeniusnormalform die zugehoerigen normierten Polynome [mm] $a_1, \dots, a_k \in [/mm] K[x]$ hat (die Begleitmatrizen dieser Polynome bilden die Blockdiagonale der Normalform), und falls [mm] $a_i [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^n [/mm] (x - [mm] \lambda_j)^{e_{ij}}$ [/mm] ist mit paarweise verschiedenen [mm] $\lambda_j$, [/mm] so kannst du die Begleitmatrix von [mm] $a_i$ [/mm] ersetzen durch folgende Jordanbloecke:
- einen Jordanblock zum Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] der Groesse [mm] $e_{i1}$,
[/mm]
- einen Jordanblock zum Eigenwert [mm] $\lambda_2$ [/mm] der Groesse [mm] $e_{i2}$,
[/mm]
- ...
- einen Jordanblock zum Eigenwert [mm] $\lambda_n$ [/mm] der Groesse [mm] $e_{in}$.
[/mm]
Damit erhaelst du die Jordansche Normalform.
Um zurueck von der Jordanschen Normalform zur Frobenius-Normalform zu kommen, gehst du Rueckwaerts vor. Du sortiest die Bloecke nach Eigenwert und Groesse, und wie beim Struktursatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen bastelst du dir daraus die Polynome [mm] $a_i$.
[/mm]
LG Felix
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