Fragen zur Arbeit (Vektorfeld) < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 07.04.2010 | | Autor: | notinX |
Die Arbeit die in einem Vektorfeld geleistet wird berechnet sich ja bekanntlich so:
[mm] $W=\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{F}(\vec{r})\,\mathrm{d}\vec{r}$
[/mm]
Nehmen wir beispielsweise das Feld:
[mm] $\vec{F}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c}2xy\\z^{2}\\2y\end{array}\right)$
[/mm]
Wie berechne ich jetzt Die Arbeit die geleistet werden muss und ein Teilchen entlang der Geraden y=2x vom Punkt [mm] $\vec{r}_{1}=\left(\begin{array}{c}3\\4\\-1\end{array}\right)$ [/mm] nach [mm] $\vec{r}_{2}=\left(\begin{array}{c}5\\8\\7\end{array}\right)$ [/mm] zu bringen? Ich verstehe nicht wie ich die Gerade "einbauen" soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 07.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst auf ner Geraden von r1 [mm] nac_h [/mm] r2
dann ist dein Richtungsvektor
[mm] \vec{r2}-\vec{r_1}=\vektor{2\\4\\8}
[/mm]
und du hast [mm] \vec{r}=t*\vektor{2\\4\\8} [/mm] t von 0 bis 1
und [mm] \vec{dr}=\vektor{2\\4\\8} [/mm] *dt
(Hier ist y=2x aber im [mm] R^3 [/mm] ist eigentlich y=2x keine Gerade)
das einsetzen, Skalarprodukt bilden und integrieren.
Du musst den Weg immer parametrisieren, ich nehm immer t als Parameter. und dann dr ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 07.04.2010 | | Autor: | notinX |
also rechne ich:
[mm] $\int\left(\begin{array}{c}2xy\\z^{2}\\2y\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\4\\8\end{array}\right)\mathrm{d}t=\int(4xy+4z^2+16y)\mathrm{d}t=\left[4xyt+4z^{2}t+16yt\right]$ [/mm] ?
Das kommt mir irgendwie spanisch vor. Wie sind dann die Integrationsgrenzen?
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Hallo!
Deine Grade liefert Werte (bzw. Funktionen) für x, y und z, abhängig von t.
Diese mußt du auch in das Feld einsetzen, sodaß du am Ende nur noch t als Variable hast, und problemlos integrieren kannst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 07.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zusatzinformationen: t läuft von 0 bis 1, das sind die Grenzen des Integrals, nachdem du r(t) in F(r) eingesetzt hast.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 08.04.2010 | | Autor: | notinX |
Also so:
[mm] $\int_{0}^{1}(4xy+4z^{2}+16y)\mathrm{d}t=\left[4xyt+4z^{2}t+16yt\right]_{0}^{1}=32+256+64=352$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 08.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo notinx
wo und wie hast du denn r In F(r) eingesetzt? da kann doch kein x,y,z mehr vorkommen?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Fr 09.04.2010 | | Autor: | notinX |
> wo und wie hast du denn r In F(r) eingesetzt? da kann doch
> kein x,y,z mehr vorkommen?
Im Endergebnis kommt doch keine Variable mehr vor.
Ich habe hier:
[mm] $\left[4xyt+4z^{2}t+16yt\right]_{0}^{1}$ [/mm]
x=2, y=4 und z=8 eingesetzt:
[mm] $\left[32t+256t+64t\right]_{0}^{1}=352$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest doch über F(r(t)*r'(t)dt integrieren
d,h. die x,y,z sind doch von t abhängig, die kannst du doch nicht im Integrl wie Konstnte behandeln?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 09.04.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo
> du solltest doch über F(r(t)*r'(t)dt integrieren
wieso F(r(t))? $ [mm] \vec{F}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c}2xy\\z^{2}\\2y\end{array}\right) [/mm] $ hängt doch gar nicht von t ab.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast r mit t parametriesiert, F(r) hängt doch von der Stelle r und damit von t ab! hattest du doch als r(t) geschrieben. Wie findest du denn die Werte von F(r) auf deinem Weg r(t)?
was ist denn x anderes als die Komponente von r in x Richtung. also ist x auf deinem Weg: x(t)=2t y(t)=4t, z(t)=8t
und t läuft von 0 bis 1.
Irgendwie musst du dir das vorstellen. Du läufst den Weg r(t) entlang, an jeder Stelle ist F anders, und du summierst über alle kleinen Wege* der momentanen Kraft.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 09.04.2010 | | Autor: | notinX |
Ok, also ist
[mm] $\vec{F}(\vec{r}(t))=\left(\begin{array}{c}
16t^{2}\\16t^{2}\\8t\end{array}\right)$
[/mm]
und damit:
[mm] W=\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'\,\mathrm{d}t=\int_0^1\left(\begin{array}{c}
16t^{2}\\
16t^{2}\\
8t\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
2\\
4\\
8\end{array}\right)\,\mathrm{d}t=\int_0^1(32t^2+64t^2+64t)\,\mathrm{d}t=\left[\frac{32}{3}t^{3}+\frac{64}{3}t^{3}+\frac{64}{2}t^{2}\right]_{0}^{1}=64 [/mm]
Stimmts jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo notinx
wie wärs mit ner netteren Reaktion auf Hilfe? Du klingst, als seist du genervt, statt erfreut!
[mm] z^2 [/mm] hast du falsch [mm] 8^2=64!
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Fr 09.04.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx
> wie wärs mit ner netteren Reaktion auf Hilfe? Du klingst,
> als seist du genervt, statt erfreut!
Hallo leduart,
das tut mir leid, ist nicht meine Absicht. Ich bin nicht genervt sondern höchst erfreut, dass mir das jemand erklärt :) (und wenn doch ein bisschen genervt dann nur von meiner Begriffstutzigkeit)
> [mm]z^2[/mm] hast du falsch [mm]8^2=64![/mm]
> Gruss leduart
Ja, stimmt:
$ [mm] W=\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'\,\mathrm{d}t=\int_0^1\left(\begin{array}{c} 16t^{2}\\ 64t^{2}\\ 8t\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 2\\ 4\\ 8\end{array}\right)\,\mathrm{d}t=\int_0^1(32t^2+256t^2+64t)\,\mathrm{d}t=\left[\frac{32}{3}t^{3}+\frac{265}{3}t^{3}+\frac{64}{2}t^{2}\right]_{0}^{1}=131$
[/mm]
Ich danke Dir und Event_Horizon für die ausführliche Hilfe.
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