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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die Anzahl der Untergruppen von der Gruppe
[mm] (\IZ/2\IZ,+) [/mm] Antwort: 2
[mm] (\IZ/3\IZ,+) [/mm] Antwort: 2
[mm] (\IZ/4\IZ,+) [/mm] Antwort: 3
[mm] (\IZ/13\IZ,+) [/mm] Antwort: 2
[mm] S_3 [/mm] Antwort: 6
[mm] S_4 [/mm] Antwort: 30
b) Berechnen Sie in der Gruppe [mm] S_9
[/mm]
[(123)] Antwort: {id, (123),(321)}
[{(12),(23),...,(89)}] Antwort: [mm] S_9 [/mm] (die Antwort muss nicht zwangsweise richtig sein, war etwas schlecht zu entziffern)
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Hallo, hab ein paar grundlegende Fragen zu Gruppen
1. Wie bestimme ich die Anzahl von Untergruppen, ohne diese vorher ausrechnen zu müssen? In Aufgabe a) sind meines Wissens nach nur zyklische Gruppen gegeben, d.h. hier gilt auch die "Umkehrung" des Satzes von Lagrange: Ist k ein Teiler der Gruppenordnung, so besitzt die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung k. Das heißt aber nicht, dass es genau eine Untergruppe der Ordnung k gibt, also könnte die Gruppe auch zwei oder mehr Untergruppen der Ordnung k haben.
Bei der [mm] S_4 [/mm] hörts dann völlig auf, hier hab ich absolut keine Ahnung wie ich die Anzahl der Untergruppen herausfinde
2. Wie berechne ich das Erzeugnis von einem Element (vor allem von Permutationen), das scheint komplett anders zu funktionieren wie in normalen Gruppen mit EZS...
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 27.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
Hallo, ich bin immer noch brennend an diesem Thema interessiert, und auch wenns ziemlich aufwendig ist, wäre es sehr nett wenn sich das mal jemand anschauen könnte, bin kurz vor der Klausur und habe Angst um mein Leben 
Vielen Dank. mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Fr 28.03.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Untergruppen von der
> Gruppe
> [mm](\IZ/2\IZ,+)[/mm] Antwort: 2
> [mm](\IZ/3\IZ,+)[/mm] Antwort: 2
> [mm](\IZ/4\IZ,+)[/mm] Antwort: 3
> [mm](\IZ/13\IZ,+)[/mm] Antwort: 2
> [mm]S_3[/mm] Antwort: 6
> [mm]S_4[/mm] Antwort: 30
>
> b) Berechnen Sie in der Gruppe [mm]S_9[/mm]
> [(123)] Antwort: {id, (123),(321)}
> [{(12),(23),...,(89)}] Antwort: [mm]S_9[/mm] (die Antwort muss
> nicht zwangsweise richtig sein, war etwas schlecht zu
> entziffern)
> 1. Wie bestimme ich die Anzahl von Untergruppen, ohne
> diese vorher ausrechnen zu müssen? In Aufgabe a) sind
> meines Wissens nach nur zyklische Gruppen gegeben, d.h.
> hier gilt auch die "Umkehrung" des Satzes von Lagrange: Ist
> k ein Teiler der Gruppenordnung, so besitzt die Gruppe eine
> Untergruppe der Ordnung k. Das heißt aber nicht, dass es
> genau eine Untergruppe der Ordnung k gibt, also könnte die
> Gruppe auch zwei oder mehr Untergruppen der Ordnung k
> haben.
Doch, bei zyklischen Gruppen ist das so. Es gibt - wenn n = l*k ist - genau eine U-Gruppe der Ordnung k. Wenn a ein erz. Element ist, bilden die [mm] a^{i*l} [/mm] die U-Grupppe.
> Bei der [mm]S_4[/mm] hörts dann völlig auf, hier hab ich absolut
> keine Ahnung wie ich die Anzahl der Untergruppen
> herausfinde.
Wenn dir nichts Besseres einfällt, bleibt nur das systematische Ausprobieren.
> 2. Wie berechne ich das Erzeugnis von einem Element (vor
> allem von Permutationen), das scheint komplett anders zu
> funktionieren wie in normalen Gruppen mit EZS...
Wenn das EZS nur aus einem Element besteht, brauchst du doch nur die Potenzen dieses Elements.
Und im allerletzten Teil müßtest du zeigen, daß jede Permutation von 9 Zahlen Produkt dieser 8 Transpositionen ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 03.11.2009 | | Autor: | julekk |
Ich hab auch nicht so richtig verstanden, wie das Erzeugnis eines Elements aussieht.
Was ist denn zum Beispiel mit [mm] <(2^i)> \le (\IQ, [/mm] +)?, i [mm] \in \IN?
[/mm]
Ist dann [mm] <(2^i)>={2^0, 2^1i, 2^2*i, ...} [/mm] (<- das i sollte eigentlich auch im Exponenten stehen)
oder
[mm] <(2^i)>={0, \pm2^i, \pm2*2^i, ...} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 04.11.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
An deiner Frage habe ich 3 Sachen auszusetzen.
Erstens fehlt eine Anrede, was hier (noch) erwünscht ist.
> Ich hab auch nicht so richtig verstanden, wie das Erzeugnis
> eines Elements aussieht.
>
> Was ist denn zum Beispiel mit [mm]<(2^i)> \le (\IQ,[/mm] +)?, i [mm]\in \IN?[/mm]
>
> Ist dann [mm]<(2^i)>={2^0, 2^1i, 2^2*i, ...}[/mm] (<- das i sollte
> eigentlich auch im Exponenten stehen)
> oder
> [mm]<(2^i)>={0, \pm2^i, \pm2*2^i, ...}[/mm] ?
Dann ist das zweitens etwas unklar aufgeschrieben, was im mathematischen Umfeld verderblich ist. Vielleicht gibt es deswegen auch bisher noch keine Antwort.
Geht es um ein erzeugendes Element, ist das i also fest? Dann würde man das Erzeugnis so schreiben: [mm] <2^i>. [/mm] Das [mm] \le [/mm] hat an der Stelle überhaupt keinen Sinn, ist vielleicht [mm] \subseteq [/mm] gemeint? Und ist wirklich [mm] \IQ [/mm] mit der Addition gemeint? Dann besteht das Erzeugnis aus den ganzzahligen Vielfachen.
Und drittens fehlt ein lockerer Abspann.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Di 10.11.2009 | | Autor: | julekk |
Hallo Dieter,
tut mir Leid, ich wollte nicht unhöflich sein. Vielen Dank, dass du trotzdem antwortest.
[mm] <2^i> \le (\IQ,+) [/mm] hab ich aus einer Aufgabenstellung meines Profs abgeschrieben, das [mm] "\le" [/mm] bedeutet "ist Untergruppe von".
Ich habe mittlerweile auch rausgefunden, dass dieses Erzeugnis, wie du sagst, aus den ganzzahligen Vielfachen besteht, du hattest also Recht- danke!
Jetzt fehlt wieder der lockere Abspann. "Macht's gut!"?
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