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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Fr 30.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Stelle die Ebenen in vektorieller Form (Parameterform) auf.
1. Die Ebene [mm] E_{1} [/mm] enthält die Ursprungsgerade durch B(3/1/0) und steht senkrecht auf der xy-Ebene.
2. Die Ebene [mm] E_{2} [/mm] enthält die Wineklhalbierende des 1. Quadranten (der yz-Ebene) und steht senkrecht auf der yz-Ebene.
3. Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] enthält die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ 2 \\1} [/mm] sowie die Gerade h durch A(3/2/2) und B(4/1/2) |
Moin,
zu 1.) habe ich zwei Ideen
1.1. Ich stelle die Gerade g auf
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r*(\vektor{3 \\ 1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0})
[/mm]
und kombiniere
Aufpunkt plus Ri-Vektor der Geraden plus Ri-Vektor z-Achse
E : [mm] \vektor{3 \\ 1 \\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ 1 \\ 0} +s*\vektor{ 0\\ 0 \\1}
[/mm]
1.2.
Ich wähle mir drei Punkte der Ebene z.B. (0/0/0) , (3/1/0) , (0/0/1)
A + r*(B-A) + s*(C-A)
E: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ 1 \\ 0} +s*\vektor{ 0\\ 0 \\1}
[/mm]
Leider stimmen die Ebenen nicht überein?! Wo liegt der Fehler?
zu 2. )
Die Winkelhalbierende des 1. Quadranten lautet
g: [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 1 \\1} [/mm]
Die x-Achse steht senkrecht auf der yz-Ebene... =>
E: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 1 \\ 1} +s*\vektor{ 1\\ 0 \\0}
[/mm]
Ist das korrekt?
zu 3.) wiederum zwei Ideen
3.1.
Ich wähle mir drei Punkte der Ebene z.B. [mm] \vektor{1 \\ -1 \\1} [/mm] als Aufpunkt, A(3/2/2) und B(4/1/2)
C + r*(A-C) + s*(B-C)
E: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\1} [/mm] + [mm] r*(\vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{1\\-1 \\1}) +s*(\vektor{4\\ 1 \\2}-\vektor{1\\ -1\\1})
[/mm]
E: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\1} [/mm] + [mm] r*\vektor{2 \\ 3 \\ 1} +s*\vektor{3\\ 2 \\1}
[/mm]
3.2. Ich nehme die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden...
h: [mm] \vektor{3 \\ 2 \\2} [/mm] + [mm] r*(\vektor{4 \\ 1 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{3\\ 2 \\2})
[/mm]
h: [mm] \vektor{3 \\ 2 \\2} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]
E: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\1} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ 2 \\ 1} +s*\vektor{1\\ -1 \\0}
[/mm]
Das ergibt aber eine andere Ebene!
Die Idee war, wenn die beiden Geraden in der Ebene liegen, dann wird die Ebene durch die beiden Geraden aufgespannt. Aber das scheint nicht zu stimmen???
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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Hallo!
Zu 1)
Doch, die Ebenen stimmen überein. Der Aufpunktvektor ist doch ein beliebiger Vektor, der jedoch auf einen Punkt in der Ebene zeigt. Davon gibts unendlich viele! Genauso gibt es ja auch unendlich viele Richtungsvektoren, du benötigst lediglich zwei Vektoren, die parallel zur Ebene, aber nicht parallel zueinander sind.
Etwas ungünstig ist, daß du in beiden Fällen r und s als Parameter gewählt hast. Nimm im zweiten Fall mal t und u, denn das ist ja eine andere Darstellung. Wenn du beide Gleichungen mal gleich setzt, stellt du fest, daß du zwei Parameter frei wählen kannst, und dann immer auch Lösungen für die anderen beiden angeben kannst.
zu 2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
zu 3)
Auch hier sind beide Ideen richtig, und es gilt das gleiche wie oben zu 1).
Ein kurzer Test:
Die Aufpunktvektoren sind gleich.
Dann ist der eine Richtungsvektor gleich.
Und dann kann man den anderen Richtungsvektor jeweils als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der anderen Gleichung schreiben:
$ [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} -\vektor{1\\ -1 \\0}=\vektor{2\\ 3 \\1}$
[/mm]
Also alles OK!
Grundsätzlich können die Graden aber auch Windschief sein, dann gibt es so ne Ebene nicht. Was hälst du von der Variante: Du nimmst die gegebene Ebene, und fügst noch den Vektor vom Aufpunkt zu A hinzu:
$ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] r\cdot{}\vektor{3 \\ 2 \\1} +s*\overrightarrow{CA}$ [/mm]
Der Punkt B taucht in dieser Gleichung noch gar nicht auf. Du kannst die Ebene aber mal gleich Punkt B setzen, und schaun, ob das lösbar ist. Wenn ja, existiert die Ebene, wenn nein, existiert die Ebene nicht.
Diese Bedingung mußt du immer beachten, denn egal, wie du deine Ebene konstruierst, es gehen immer drei Größen ein, es gibt aber vier. Und die vierte könnte dir einen Strich durch die Rechnung machen.
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