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Forum "Determinanten" - Frage zur Zeilenstufenform
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Frage zur Zeilenstufenform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Di 18.03.2008
Autor: Steffi1988

Hallo ihr lieben,
ich soll prüfen ob eine Matrix invertierbar ist.

Aus der Vorlesung weiß ich, dass dies der Fall ist wenn det(A) [mm] \not= [/mm] 0.

In der Vorlesung haben wir so gerechnet:


A: = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 7 & 9 } \sim \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & -7} \sim \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]

Die Rechnung wie er da auf den zweiten schritt kommt weiß ich leider nicht :(

Das die Mat. nicht invertier ist weil 2 * 1 * 0 = 0....

Da ich "seinen" Rechenweg nicht verstanden hab hab ich's mal selber gerechnet:

Könnt ihr mir bitte sagen ob ich das hier so machen kann ? Bin mir unsicher:


A: = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 7 & 9 } [/mm]

Nun vertausche ich Zeile 1 und 2, damit ich beim Multiplizieren keine Brüche erhalte.
Anschließend multipliziere ich die erste Zeile *-2 und wende es auf die zweite Zeile an.
Danach multipliziere ich die erste Zeile *-4 und wende es auf die dritte Zeile an.

[mm] \sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 9 } [/mm]
[mm] \sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & -7} \sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Ich komme also auch dadrauf, dass die Matrix nicht invertierbar ist..

Aber ist mein Weg so richtig?

LG

steffi

        
Bezug
Frage zur Zeilenstufenform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Di 18.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Steffi,

> Hallo ihr lieben,
>  ich soll prüfen ob eine Matrix invertierbar ist.
>  
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass dies der Fall ist wenn
> det(A) [mm]\not=[/mm] 0.
>  
> In der Vorlesung haben wir so gerechnet:
>  
>
> A: = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 7 & 9 } \sim \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & -7} \sim \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Die Rechnung wie er da auf den zweiten schritt kommt weiß
> ich leider nicht :(

Da hat der Meister gleich 2 Schritte in einem gemacht, das machen die immer ;-)

Er hat zum einen das $-4$ -fache der 2.Zeile zur 3.Zeile addiert und zum anderen die 1.Zeile zum $-2$ -fachen der 2.Zeile addiert

>  
> Das die Mat. nicht invertier ist weil 2 * 1 * 0 = 0....

weil der Rang < 3 ist (wegen der Nullzeile)

>
> Da ich "seinen" Rechenweg nicht verstanden hab hab ich's
> mal selber gerechnet:
>  
> Könnt ihr mir bitte sagen ob ich das hier so machen kann ?
> Bin mir unsicher:
>  
>
> A: = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 7 & 9 }[/mm]
>  
> Nun vertausche ich Zeile 1 und 2, damit ich beim
> Multiplizieren keine Brüche erhalte.
>  Anschließend multipliziere ich die erste Zeile *-2 und
> wende es auf die zweite Zeile an.
>  Danach multipliziere ich die erste Zeile *-4 und wende es
> auf die dritte Zeile an.
>  
> [mm]\sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 9 }[/mm]
>  [mm]\sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & -7} \sim \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Ich komme also auch dadrauf, dass die Matrix nicht
> invertierbar ist..
>
> Aber ist mein Weg so richtig?

Jo, dein Weg ist genauso gut, Hauptsache, du verwendest stets einen der drei erlaubten Typen von elementaren Zeilenumformungen

>  
> LG
>  
> steffi


Gruß

schachuzipus

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