Frage zur Auflösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Di 21.02.2006 | | Autor: | giggs |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung:
[mm] y_n+1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} y_n [/mm] + [mm] \bruch{2^n}{n} [/mm] , n = 1, 2, 3, .... |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nach einsetzten in die Lösungsformel ergibt sich:
[mm]y_n = C * \prod_{i=1}^{n-1} \bruch{1}{i} + \sum_{j=1}^{n-1} ( \prod_{i=j+1}^{n-1} \bruch{1}{i} ) \bruch{2^j}{j}[/mm]
Soweit klar.
In der Lösung lautet nun die nächste Zeile:
[mm]y_n = C * \bruch{1}{(n-1)!} + \sum_{j=1}^{n-1} \bruch{j!}{(n-1)!} * \bruch{2^j}{j}[/mm]
Der erste teil ist mir klar, aber woher kommt im zweiten Teil [mm] j! [/mm] im Zähler??
Ich blick nicht ganz durch...
Kann mir jmd helfen?
gruss giggs
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Hallo giggs,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
[mm]\prod_{i=j+1}^{n-1} \bruch{1}{i} \ = \ \bruch{1}{(j+1)*(j+2)*...(n-2)*(n-1)}[/mm]
Und nun wurde der Bruch mit $j!_$ erweitert sowie verwendet:
$j!*(j+1)*(j+2)*...*(n-2)*(n-1) \ = \ 1*2*3*...*(j-1)*j*(j+1)*(j+2)*...*(n-2)*(n-1) \ = \ (n-1)!$
Gruß vom
Roadrunner
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