Frage zum exp. Fallen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beim radioaktiven Zerfall eines Isotops ist die Zerfallgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt proportional zur noch vorhandenen Masse des Isotops.
Das Isotop Radium ^{225}Ra hat eine Halbwertzeit von 1600 Jahren.
Geben sie die Differentialgleichung an. |
Hmm, wir haben die Aufgabe im Unterricht gemacht, allerdings ging meine Frage mangels Zeit unter...
Es geht um ein exp. Fallen.
Also lautet die Grundformel [mm] f(0)*e^{\bruch{ln2}{1600}*x}
[/mm]
Ausgerechnet: f(x)= [mm] f(0)*e^{4,33*10^{-4}*x}
[/mm]
Die DGL : [mm] 4,33*10^{-4}* f(0)*e^{4,33*10^{-4}*x}
[/mm]
Mag ja auch so sein, allerdings verstehe ich nicht, woher die ln2 kommt :(
Könnte mir das vielleicht jemand erläutern?
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> Beim radioaktiven Zerfall eines Isotops ist die
> Zerfallgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt proportional zur
> noch vorhandenen Masse des Isotops.
> Das Isotop Radium ^{225}Ra hat eine Halbwertzeit von 1600
> Jahren.
> Geben sie die Differentialgleichung an.
> Hmm, wir haben die Aufgabe im Unterricht gemacht,
> allerdings ging meine Frage mangels Zeit unter...
>
> Es geht um ein exp. Fallen.
> Also lautet die Grundformel [mm]f(0)*e^{\bruch{ln2}{1600}*x}[/mm]
irgendwo fehlt da im exponenten ein minuszeichen, sonst würde man ja direkt sehen, dass die übrige menge f(x) IMMER weiter wächst, statt schrumpft.. das kann bei einem radioaktiven ZERFALL ja nicht sein!
der ansatz ist ja erstmal grundlegend [mm] f(x)=c*e^{\lambda*x} [/mm] nun bedingung für halbwertszeit:
[mm] f(1600a)=f(0)/2=f(0)*e^{\lambda*1600a}
[/mm]
[mm] \gdw\frac{1}{2}=e^{\lambda*1600a}
[/mm]
"wie gross muss [mm] \lambda [/mm] sein, um nach 1600 jahren die hälfte der grundmenge zu haben"
durch anwendung des ln kommt man dann auf ln(1/2)/1600a bzw -ln(2)/1600a!
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> Ausgerechnet: f(x)= [mm]f(0)*e^{4,33*10^{-4}*x}[/mm]
> Die DGL : [mm]4,33*10^{-4}* f(0)*e^{4,33*10^{-4}*x}[/mm]
> Mag ja
> auch so sein, allerdings verstehe ich nicht, woher die ln2
> kommt :(
> Könnte mir das vielleicht jemand erläutern?
gruß tee
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