Frage zum Thema Homotopie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Do 26.05.2005 | | Autor: | mill3r |
Wie kann ich beweisen: X,Y,Z,W seien top. Räume, A eine Teilmenge von X und f,g : X->Y seien stetige Abb. mit f|A= g|A und f ~=g rel A. Wenn h:Y->Z und k: W->X stetige Abb., dann gilt h°f~=h°g rel A und f°k~=g°k rel k^-1(A)
Wäre nett wenn mir einer helfen könnte habe gerade keine Ahnung wie ich das zeigen soll.
Vielen Dank schonmal
Sascha
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bitte poste keine Fragen ohne Lösungsansätze ins Forum. Oder schreib zumindest dazu, was du dir schon für Gedanken gemacht hast. Und wenn's nur ein paar Definitionen sind! Die komplette Forenregeln findest du hier. Trotzdem natürlich:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ist eine Teilmenge von , und stimmen zwei stetige Abbildungen auf überein, so heißen und homotop relativ , wenn es eine Homotopie mit gibt, für die für jedes unabhängig von ist, d.h. dass für [mm] $e\in [/mm] E$, [mm] $t\in[0;1]$ [/mm] $H(e,t)=f(e)=g(e)$.
Dabei ist eine Homotopie zwischen zwei stetigen Abbildungen und eine stetige Abbildung
mit der Eigenschaft und .
Sei jetzt in deiner Aufgabe $H$ die Homotopie zwischen $f$ und $g$ relativ A.
Dann gilt für alle [mm] $a\in [/mm] A$: [mm] $(h\circ f)(a)=h\big(f(a)\big)=h\big(g(a)\big)=(h\circ [/mm] g)(a)$. Damit ist [mm] $(h\circ f)_{\big|A}=(h\circ g)_{\big|A}$ [/mm] gezeigt.
Definiere [mm] $H_1:\ X\times[0;1]\to [/mm] Z,\ [mm] H_1(x,t)=h\big(H(x,t)\big)$.
[/mm]
Jetzt musst du erstmal überprüfen, dass das eine Homotopie zwischen [mm] $h\circ [/mm] f$ und [mm] $h\circ [/mm] g$ ist. Die Stetigkeit ist klar.
Außerdem ist für alle [mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $H_1(x,0)=h\big(H(x,0)\big)=h(f(x))=(h\circ [/mm] f)(x)$ und [mm] $H_1(x,1)=h\big(H(x,0)\big)=h(g(x))=(h\circ [/mm] g)(x)$.
Sei jetzt [mm] $a\in [/mm] A$, [mm] $t\in[0;1]$. [/mm] Dann ist [mm] $H_1(a,t)=h\big(H(a,t)\big)=h(f(a))=h(g(a))$. [/mm] Dabei habe ich ausgenutzt, dass $H$ die Homotopie zwischen $f$ und $g$ relativ A ist.
Damit wäre der erste Teil der Aufgabe schon erledigt! Hast du jetzt eine Idee, wie du die Homotopie für den zweiten Teil definieren musst?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 28.05.2005 | | Autor: | mill3r |
Danke für die antwort den ersten Teil hatte ich schon raus bekommen nach dem Post aber nun weiß ich das ich ihn richtig habe.
Okay beim nächsten mal werde ich auch meine Gedanken niederschreiben nur war etwas in Zeitnot.
Denke ich habe nun auch die Idee für die andere Behauptung, die wie ich denke fast analog funktionieren sollte.
Vielen Dank für die Antwort!
mfg
Sascha
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