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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
ich habe eine Frage zum Supremum bzw. zu zwei gegebenen Beispielen:
1.) S:={x [mm] \varepsilon \IQ [/mm] | x² [mm] \le [/mm] 1954}
Laut Mathevorlesung hat diese Menge S kein Supremum. Warum aber? Dass [mm] \wurzel{1954} [/mm] kein Supremum sein kann, ist mir bewusst, da es kein Element von [mm] \IQ [/mm] ist. Wenn ich aber x=45 setze, so ist 45² > 1954 und es ist die kleinste obere Schranke, also ein Supremum. Oder irre ich mich hier? Muss das Supremum stets ein Element der Menge sein?
2.) S:={x [mm] \varepsilon \IQ [/mm] | [mm] x^3 [/mm] < 1728}
Laut Vorlesung liegt hier ein Supremum vor und zwar x=12 mit [mm] 12^3 [/mm] = 1728. Warum liegt hier im Gegensatz zum ersten Beispiel ein Supremum vor?
Mir ist insgesamt noch nicht so wirklich klar, welche Bedingungen ein Supremum genau erfüllen muss. Es ist die kleinste obere Schranke, okay, aber muss es auch Element der Menge sein, sprich das größte Element, oder muss es ein Element sein, welches nicht in der Menge liegt und größer ist als das größte Element der Menge?
Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Hinweise geben könnte.
Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
laß uns zunächst einmal feststellen, daß alles kein Problem wäre, wenn wir in Deinen Beispielen die Mengen S als Teilmengen von \IR betrachten würden. Da hätte man in beiden Fällen ein Supremum.
Der Knackpunkt:
Du schreibst es zwar nicht - aber ich merke es trotzdem! - : Deine Grundmenge soll hier \IQ sein, und Deine Menge S wird als Teilmenge von \IQ betrachtet. Das bedeutet, daß das Supremum, sofern es existiert, in \IQ liegen muß. Aufmerke: in \IQ , nicht unbedingt in S.
Gucken wir nun in Dein Beispiel.
> 1.) S:={x [mm]\varepsilon \IQ[/mm] | x² [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1954}
>
> Laut Mathevorlesung hat diese Menge S kein Supremum. Warum
> aber? Dass [mm]\wurzel{1954}[/mm] kein Supremum sein kann, ist mir
> bewusst, da es kein Element von [mm]\IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist.
Genau. Weil die Grundmenge hier \IQ ist.
Wenn ich aber x=45
> setze, so ist 45² > 1954 und es ist die kleinste obere
> Schranke, also ein Supremum. Oder irre ich mich hier? Muss
> das Supremum stets ein Element der Menge sein?
Nein, in S muß das Supremum nicht liegen. Du irrst aus einem anderen Grund. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Ich stimme Dir zu, daß 45 eine obere Schranke ist, aber es ist nicht die kleinste. Du findest zwischen \wurzel{1954} und 45 eine rationale Zahl, die die Menge nach oben beschränkt, z.B \bruch{1}{2}(45+ \bruch{1954}{45}) Also ist 45 nicht die kleinste obere Schranke.
Und so ist das mit jeder oberen Schranke s \in \IQ, die Du findest: s':= \bruch{1}{2}(s+ \bruch{1954}{s} ist rational und liegt zwischen \wurzel{1954} und s.
Also gibt's kein Supremum.
> 2.) S:={x [mm]\varepsilon \IQ[/mm] | [mm]x^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 1728}
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> Laut Vorlesung liegt hier ein Supremum vor und zwar x=12
> mit [mm]12^3[/mm] = 1728. Warum liegt hier im Gegensatz zum ersten
> Beispiel ein Supremum vor?
Daß 12 eine obere Schranke ist, das ist klar, oder?
Sein nun s eine weitere obere Schranke. Dann ist [mm] 12^3=1728 \le s^3 [/mm] ==>12 [mm] \le [/mm] s.
Also ist jede obere Schranke [mm] \ge [/mm] 12, und damit ist 12 die kleinste obere Schranke.
Gruß v. Angela
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> Mir ist insgesamt noch nicht so wirklich klar, welche
> Bedingungen ein Supremum genau erfüllen muss. Es ist die
> kleinste obere Schranke, okay, aber muss es auch Element
> der Menge sein, sprich das größte Element, oder muss es ein
> Element sein, welches nicht in der Menge liegt und größer
> ist als das größte Element der Menge?
> Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Hinweise geben
> könnte.
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> Grüße
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