Frage zu lin. Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 13.12.2010 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle [mm] $\alpha$ [/mm] für die folgende Vektoren lin. unabhängig sind:
$ [mm] \vec{u_1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] \vec{u_2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] \vec{u_3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ \alpha \\ -8 \end{pmatrix} [/mm] $ |
Wenn ich nun die obigen Vektoren zu einer mit dem Null-Vektor erweiterten Koeffizientenmatrix zusammenfasse und den gauß-algo mache, dann bekomm ich am Schluss folgende Matrix raus:
[mm] $\pmat{ 1 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & \alpha -20 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Ich hab die gleiche Aufgabe nun schon mit der Determinante gemacht. Hier ist es aber dann einfacher, denn nach Determinantenberechnung komm det=0 raus, was nach meiner Formelsammlung lin. Unabhängigkeit bedeutet.
Meine Frage ist nun wie ich den obigen Gauß-Algo zu deuten habe!
Könnt ihr mir das erklären?
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Hallo bandchef,
> Bestimmen sie alle [mm]\alpha[/mm] für die folgende Vektoren lin.
> unabhängig sind:
>
> [mm]\vec{u_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{u_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{u_3} = \begin{pmatrix} 4 \\ \alpha \\ -8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn ich nun die obigen Vektoren zu einer mit dem
> Null-Vektor erweiterten Koeffizientenmatrix zusammenfasse
> und den gauß-algo mache, dann bekomm ich am Schluss
> folgende Matrix raus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & \alpha -20 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\pmat{ 1 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & \alpha \blue{+}20 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Ich hab die gleiche Aufgabe nun schon mit der Determinante
> gemacht. Hier ist es aber dann einfacher, denn nach
> Determinantenberechnung komm det=0 raus, was nach meiner
> Formelsammlung lin. Unabhängigkeit bedeutet.
>
> Meine Frage ist nun wie ich den obigen Gauß-Algo zu deuten
> habe!
>
> Könnt ihr mir das erklären?
Da der Gauss-Algorithmus eine Nullzeile liefert,
sind die gegebenen Vektoren linear abhängig.
Und zwar unabhängig vom Parameter [mm]\alpha[/mm].
Gruss
MathePower
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