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| Aufgabe | Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks - egal, ob in der Ebene oder im Raum - wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet. Die vier Punkte A,B,C,D des affinen Raums [mm] $\IR$^3 [/mm] seien nicht kollinear, d.h. nicht in einer affinen Ebene gelegen; sie bilden die Eckpunkte eines Tetraeders.
Man beweise: Wenn man die vier Eckpunkte durch Strecken mit den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Randdreiecke verbindet, so schneiden sich diese vier Strecken in einem Punkt S; dieser teilt die Strecken im Verhältnis 3:1. |
Hallo!! Also, bei dieser Aufgabe geht es mir darum, dass ich sie alleine gelöst habe und irgendwie nich glaube, dass meine Lösung komplett richtig ist, obwohl ich die volle Punktzahl bekommen habe. Ich habe irgendwie das Gefühl, dass mein Tutor ab und zu ein Auge zudrückt.
Hier ist meine Lösung:
Erstmals habe ich ne schöne Skizze hingekritzelt, aber ich habe keinen Scanner, sonst wäre sie jetzt auch hier drin =)
Dann habe ich die Schwerpunkte definiert:
[mm] S_{1}: \Delta [/mm] ABD
[mm] S_{2}: \Delta [/mm] ACD
[mm] S_{3}: \Delta [/mm] ABC
[mm] S_{4}: \Delta [/mm] BCD
Dann waren die Geraden dran mit:
[mm] g_{1}: C+t*(-C+S_{1})=C*(1-t)+t*(1/3)*(A+B+D)
[/mm]
[mm] g_{2}: B+t*(-B+S_{2})=B*(1-t)+t*(1/3)*(A+C+D)
[/mm]
[mm] g_{3}: D+t*(-D+S_{3})=D*(1-t)+t*(1/3)*(A+B+C)
[/mm]
[mm] g_{4}: A+t*(-A+S_{4})=A*(1-t)+t*(1/3)*(B+C+D)
[/mm]
Dann habe ich gesagt, dass t=3/4 ist. Also...
[mm] g_{1}: [/mm] C*(1/4)+t*(1/4)*(A+B+D)=(1/4)*(A+B+C+D)
[mm] g_{2}: [/mm] B*(1/4)+t*(1/4)*(A+C+D)=(1/4)*(A+B+C+D)
[mm] g_{3}: [/mm] D*(1/4)+t*(1/4)*(A+B+C)=(1/4)*(A+B+C+D)
[mm] g_{4}: [/mm] A*(1/4)+t*(1/4)*(B+C+D)=(1/4)*(A+B+C+D)
=> Verhältnis 3:1.
Außerdem folgt auch, dass S in jeder Geraden enthalten ist.
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So... genauso hab ich die Aufgabe abgegen. Könnt ihr mir sagen, ob irgendetwas fehlt? Vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 20.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es ist alles richtig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Es kam mir nur so wenig vor :D Danke schön!!
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