Frage zu einer Integrationsauf < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben grade mit Integration angefangen und ich bin mir hier etwas unsicher mit einer Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x) [mm] =x^{5} [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0 und
= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] für x > 0
Jetzt soll man F(x) = [mm] \integral_{-1}^{x}{f} [/mm] explizit darstellen und sagen, wo F differenzierbar ist.
Ich habe dann zu beiden Teilen die Stammfunktion gebildet und das Integral von x= -1 bis 0 bestimmt. Also müsste F(x)= [mm] arctan(x)-\bruch{1}{6} [/mm] sein.
Ist das richtig und wie sieht es mit der Differenzierbarkeit aus? Ist das nicht überall differenzierbar?
Gruß, Hans
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Hallo Hans-Hubert!
> Ich habe dann zu beiden Teilen die Stammfunktion gebildet
> und das Integral von x= -1 bis 0 bestimmt.
> Also müsste F(x)= [mm]arctan(x)-\bruch{1}{6}[/mm] sein.
Das ist aber der Teil der Funktion $F(x)_$ für $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
Für das Intervall $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 0$ musst Du eine andere Teilfunktion von $F(x)_$ angeben.
> und wie sieht es mit der Differenzierbarkeit aus?
> Ist das nicht überall differenzierbar?
Kritisch ist doch lediglich die "Nahtstelle" [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Existiert dort der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{F(x)-F(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{F(x)-F(0)}{x-0}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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ok, dann wäre für x < 0 F(x) [mm] =\bruch{1}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x^{6}.
[/mm]
Und zu dem Grenzwert: Nach Einsetzen und Umformen habe ich [mm] -\bruch{2}{6x}. [/mm] Kann man sagen, dass der Grenzwert nicht existiert, weil der Nenner gegen 0 strebt?
Gruß, Hans
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Hallo Hans!
> ok, dann wäre für x < 0 F(x) [mm]=\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x^{6}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier habe ich genau entgegengesetzte Vorzeichen mit [mm] $F_{-1\le x<0}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}x^6-\bruch{1}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*\left(x^6-1\right)$
[/mm]
Es muss ja gelten: $F(-1) \ = \ 0$ !
> Und zu dem Grenzwert: Nach Einsetzen und Umformen habe ich
> [mm]-\bruch{2}{6x}.[/mm] Kann man sagen, dass der Grenzwert nicht
> existiert, weil der Nenner gegen 0 strebt?
Hier ist mir völlig unklar, was Du gerechnet hast. Dieser Grenzwert stimmt jedenfalls nicht.
Du musst hier auch zwei unterschiedliche Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) betrachten und vergleichen.
Gruß vom
Roadrunner
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> Hier habe ich genau entgegengesetzte Vorzeichen mit
> [mm]F_{-1\le x<0}(x) \ = \ \bruch{1}{6}x^6-\bruch{1}{6} \ = \ \bruch{1}{6}*\left(x^6-1\right)[/mm]
jo stimmt, da hab ich falschrum gerechnet.
Bei dem Grenzwert steh ich im moment echt auf dem Schlauch
Der linksseitige Grenzwert ist doch
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{(\bruch{1}{6}x - \bruch{1}{6}) - \bruch{1}{6}}{x -0}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Gruß, Hans
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Hallo Hans!
Da hat sich ein (allseits beliebter  ) Vorzeichenfehler eingebaut. Und die Potenz [mm] $(...)^{\red{6}}$ [/mm] hast Du auch vergessen. Es muss heißen:
[mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{\left(\bruch{1}{6}x^{\red{6}} - \bruch{1}{6}\right) -\left(\red{-} \bruch{1}{6}\right)}{x -0} \ = \ \limes_{x\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{6}x^{\red{6}} - \bruch{1}{6} \ \red{+} \ \bruch{1}{6}}{x} \ = \ ...[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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ups, da war ich wohl etwas unaufmerksam :-*)
Also der Teil mit de [mm] x^6 [/mm] geht gegen null und +-(1/6) hebt sich auf. Dann gehen doch Zähler und Nenner gegen null.
Und der andere Grenzwert ist dann
[mm] \bruch{(\arctan(x)-\bruch{1}{6}) + \bruch{1}{6}}{x-0}, [/mm] was ebenfalls gegen
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] geht. Und damit existieren die Grenzwerte nicht. Stimmt das so?
Gruß, Hans
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Hallo Hans!
> Also der Teil mit de [mm]x^6[/mm] geht gegen null und +-(1/6) hebt
> sich auf. Dann gehen doch Zähler und Nenner gegen null.
Nanana ... wir dürfen doch im Nenner gar nicht den Wert $0_$ erzeugen.
Aber nachdem [mm] $\bruch{1}{6}$ [/mm] entfallen ist, können wir doch kürzen und dann die Grenzwertbetrachtung machen.
Der Grenzwert lautet dann wirklich $0_$ .
> Und der andere Grenzwert ist dann [mm]\bruch{(\arctan(x)-\bruch{1}{6}) + \bruch{1}{6}}{x-0},[/mm] was
> ebenfalls gegen [mm]\bruch{0}{0}[/mm] geht.
Wie lautet denn die Ableitung des [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ? Und diese nimmt welchen Wert für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ an?
> Und damit existieren die Grenzwerte nicht. Stimmt das so?
Da die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) unterschiedliche Werte annehmen, ist die Funktion $F(x)_$ an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht differenzierbar.
Gruß vom
Roadrunner
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super, danke für deine Hilfe! 
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