Frage zu Stetigkeit-Definition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle,
Ich bin mir unsicher, ob ich die vorliegende (wohl auch "richtige") Stetigkeitsdefinition korrekt verstanden habe. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen (un-)korrekt sind und mir ggf. den Fehler verklickern.
Folgende Definition der Stetigkeit liegt zugrunde:
Seien M, N [mm] \subseteq \IC [/mm] und sei f:M [mm] \to [/mm] N eine Funktion. Sei [mm] \mu \in [/mm] M.
Dann heißt f stetig in [mm] \mu [/mm] , falls für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in M mit [mm] x_n \to \mu [/mm] gilt, daß [mm] f(x_n) \to f(\mu). [/mm] Für A [mm] \subseteq [/mm] M heißt f stetig in A, falls f stetig in jedem Punkt von A ist. Schließlich heißt f stetig, wenn f stetig in M ist.
Soweit, so gut (oder auch nicht). Nun betrachte ich die Mengen
M := {0,1}
und
N := [mm] \IC [/mm] .
f soll wie folgt definiert sein:
f : {0,1} [mm] \to \IC [/mm] , [mm] 0\mapsto [/mm] 1 , 1 [mm] \mapsto [/mm] 1 .
Nach meinem Verständnis obiger Definition ist f stetig in 0, denn: Da jede Folge in {0, 1}, die gegen 0 konvergiert, ab einem bestimmten Folgenglied durchgehend Nullen enthalten muß. Und als Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] ergäben sich stets konstante Folgen mit Einsen, die gegen f(0) = 1 konvergieren.
Analog folgere ich, daß f stetig in 1 ist.
f ist also stetig. Der Graph dieser Funktion ist jedoch keine "durchgezogene Linie", wie es mit Stetigkeit i.a. assoziiert wird. Habe ich nun ein Verständnisproblem? Genauer gefragt: Ist obige Funktion f wirklich stetig?
Für einen Hinweis wäre ich Euch dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Neuling_hier!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Hallo an alle,
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> Ich bin mir unsicher, ob ich die vorliegende (wohl auch
> "richtige") Stetigkeitsdefinition korrekt verstanden habe.
> Vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen
> (un-)korrekt sind und mir ggf. den Fehler verklickern.
>
> Folgende Definition der Stetigkeit liegt zugrunde:
>
> Seien M, N [mm]\subseteq \IC[/mm] und sei f:M [mm]\to[/mm] N eine Funktion.
> Sei [mm]\mu \in[/mm] M.
> Dann heißt f stetig in [mm]\mu[/mm] , falls für jede Folge [mm](x_n)[/mm] in
> M mit [mm]x_n \to \mu[/mm] gilt, daß [mm]f(x_n) \to f(\mu).[/mm] Für A
> [mm]\subseteq[/mm] M heißt f stetig in A, falls f stetig in jedem
> Punkt von A ist. Schließlich heißt f stetig, wenn f stetig
> in M ist.
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> Soweit, so gut (oder auch nicht). Nun betrachte ich die
> Mengen
>
> M := {0,1}
>
> und
>
> N := [mm]\IC[/mm] .
>
> f soll wie folgt definiert sein:
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> f : {0,1} [mm]\to \IC[/mm] , [mm]0\mapsto[/mm] 1 , 1 [mm]\mapsto[/mm] 1 .
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> Nach meinem Verständnis obiger Definition ist f stetig in
> 0, denn: Da jede Folge in {0, 1}, die gegen 0 konvergiert,
> ab einem bestimmten Folgenglied durchgehend Nullen
> enthalten muß. Und als Folge der Funktionswerte [mm](f(x_n))[/mm]
> ergäben sich stets konstante Folgen mit Einsen, die gegen
> f(0) = 1 konvergieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Analog folgere ich, daß f stetig in 1 ist.
> f ist also stetig.
So ist es ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
> Der Graph dieser Funktion ist jedoch
> keine "durchgezogene Linie", wie es mit Stetigkeit i.a.
> assoziiert wird. Habe ich nun ein Verständnisproblem?
> Genauer gefragt: Ist obige Funktion f wirklich stetig?
Du hast das absolut richtig verstanden. Der Unterschied zu der "Interpretation mit der durchgezogenen Linie" ist hier halt einfach der, dass der Definitionsbereich, also die Menge $M$, nur aus "isolierten Punkten" besteht. Mit anderen Worten:
Weder die $0 [mm] \in [/mm] M$ noch die $1 [mm] \in [/mm] M$ sind Häufungspunkte der Menge $M$! Daher kann man hier auch nicht das "Graph läßt sich zeichnen, ohne den Bleistift abzusetzen"-Argument ( ) benutzen!
Siehe auch:
![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7 c), S.94, skriptinterne Zählung
PS: Wenn du magst, kannst du auch mal mithilfe des obigen Skriptes die Stetigkeit deiner Funktion mit der Definition 10.2, die du auf Seite 91 findest, mühelos nachrechnen (zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, [mm] $x_0 \in [/mm] M$ setzt du beispielsweise einfach [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,\;x_0}:=\frac{1}{2}$)!
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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