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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Mir sind zwei Definitionen für die Determinante bekannt. Einmal die Axiome nach Weierstraß und als zweites die Formel nach Leibniz.
Ich soll nun die Existenz zeigen. Ich hab keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Hab in einem Buch gelesen, dass man für die Existenz mir der Formel von Leibniz "loslegt" und damit die Axiome von Weierstraß nachprüft. Aber mir ist hier nicht klar, wie das gehen soll?
Vielen Dank für die Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Du hast doch die Formel von Leibniz:
[mm] \det A = \summe_{\sigma \in S_n} sign (\sigma) * a_{1,\sigma (1)} * ... * a_{n, \sigma (n)[/mm]
Nun sollst du ganz einfach die Axiome von Weierstraß Nachprüfen (linear in jeder Zeile, alternierend, normiert).
Kannst du das allein?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo Micha!
Also mein 1.Problem ist, ich versteh die Formel (fast) gar nicht. Ich weiß, dass irgendwas mit Permutationen darin steckt und das es insgesamt n! Summanden gibt. D.h. Bei einer (4x4)-Matrix hat die Determinante 4! also 24 Summanden.
Aber mehr verstehe ich ehrlich gesagt nicht :-(
Somit weiß ich also auch nicht, wie ich die Äquivalenz zu den Axiomen von Weierstraß zeigen soll????????
VIELEN Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also man kann entweder so anfangen, dass man wie Weierstraß festlegt, welche EIgenschaften eine Abbildung haben soll, die Determinante heißen soll, und man stellt dann fest, dass sie mit 3 Axiomen schon eindeutig festgelegt ist.
Man kann aber auch wie Leibniz anfangen und eine Formel erarbeiten, festlegen, dass das die Determinante ist, und keine andere.
Anschließend kann man feststellen, dass die Formel von Leibniz die Axiome der Weierstraßschen Determinante erfüllt, also genau die Abbildung ist, die Weierstraß axiomatisch festgelegt hat. Dann folgt aus der Eindeutigkeit auch, dass es die Weierstraßsche war und keine andere...
Ehrlich gesagt finde es wirklich mühsam das aufzuschreiben.. vielleicht schaust du einfach mal in einem guten Algebrabuch dazu? Ich könnte auch nichts anderes tun, als den Beweis abzuschreiben (z.B. Fischer, Seite 192, 14. Auflage)
Gruß Micha
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