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Hi! Ich habe eine Matrix A [mm] \in M_K(n,n) [/mm] gegeben. Ich muss zeigen, dass [mm] \lambda [/mm] ganau dann ein Eigenwert von A ist, wenn [mm] \mu_A [/mm] ( [mm] \lambda) [/mm] = 0 ist. Ist das nicht eigentlich die Definition für die Normalen Eigenwerte. Oder ist das ein spezieller Eigenwert? Weiß nicht genau, wie ich dass zeigen soll. Statt [mm] \mu [/mm] haben wir immer gesagt dass [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist, wenn das charakteristische Polynom Null ist. Ist das jetzt so ähnlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 So 03.07.2005 | | Autor: | mathedman |
> Hi! Ich habe eine Matrix A [mm]\in M_K(n,n)[/mm] gegeben. Ich muss
> zeigen, dass [mm]\lambda[/mm] ganau dann ein Eigenwert von A ist,
> wenn [mm]\mu_A[/mm] ( [mm]\lambda)[/mm] = 0 ist.
Was ist denn [mm]\mu_A[/mm]?
Das charakteristische Polynom von [mm]A[/mm]?
Das Minimalpolynom?
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Das charakteristische Polynom haben wir immer anders benannt. Ich weiß auch nicht, was [mm] \mu [/mm] ist, da es nicht in der Aufgabe steht und wir es nie wirklich definiert haben. Was könnte es denn sein, damit die Aufgabe einen Sinn machen würde?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 03.07.2005 | | Autor: | Nam |
Das charakteristische Polynom würde schon Sinn machen. In der Regel wird der Eigenwert ja auch nicht über das charakteristische Polynom definiert, sondern so:
[mm]\lambda[/mm] Eigenwert von A [mm]\gdw \;\;\; \exists \;\; x \not= 0: \;\;\; Ax = \lambda x[/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem)
Dann würde gelten:
[mm]\lambda[/mm] Eigenwert von A
[mm]\gdw \;\;\; \exists \;\; x \not= 0: \;\;\; Ax = \lambda x[/mm]
[mm]\gdw \;\;\; \exists \;\; x \not= 0: \;\;\; (A-\lambda)x = 0[/mm]
[mm]\gdw \;\;\; \exists \;\; x \not= 0: \;\;\; x \in Kern(A-\lambda)[/mm]
[mm]\gdw \;\;\; A-\lambda[/mm] ist nicht injektiv (hat nicht vollen Rang)
[mm]\gdw \;\;\; Rang(A-\lambda) < n[/mm]
[mm]\gdw \;\;\; 0 = det(A-\lambda) = \mu_A(\lambda)[/mm]
Aber am besten würde ich mal den Übungsleiter oder denjenigen, der die Aufgabenblätter konzipiert fragen.
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