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| Aufgabe | | Berechne die Fouriertansf. [mm] \widehat{f(k)} [/mm] von f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^2} [/mm] |
Hallo,
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}
[/mm]
Dieses Integral schreit ja förmlich nach dem Residuuensatz (oder doch nicht?)
einen Term wie [mm] \frac{1}{1+x^2} [/mm] kann man ja leicht in partialbrüche zerlegen und somit die residuuen ablesen, aber wie kommt ich an die residuuen von [mm] \frac{e^{-ikx}}{1+x^2}?
[/mm]
Mathematica sagt: [mm] Res(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2})_{x=-I}=\frac{ie^{-k}}{2}
[/mm]
[mm] Res(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2})_{x=I}=\frac{-ie^{k}}{2}
[/mm]
LG,
HP
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Hallo,
die Frage hat sich eventuell geklärt.
Habe ich recht, wenn ich sage, dass die Singularität von
[mm] \frac{e^{-ikx}}{1+x^2} [/mm] eine polstelle 1. ordnung ist? (weil [mm] \frac{e^{-ikx}}{1+x^2} [/mm] = [mm] \frac{e^{-ikx}}{(x+i)(x-i)}) [/mm]
dann hätte ich nämlich eine formel für das residuum gefunden 
LG,
HP
Edit: Es müsste demnach gelten:
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] Res_i\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right) [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{ie^{-k}}{2} [/mm] = [mm] -\pi e^{-k}
[/mm]
Also:
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (-\pi e^{-k}) =-\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-k}
[/mm]
Ist das richtig? Meine Bedenken: Hätte ich das andere Residuum genommen, hätte ich ein anderes Integral bekommen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> die Frage hat sich eventuell geklärt.
>
> Habe ich recht, wenn ich sage, dass die Singularität von
>
> [mm]\frac{e^{-ikx}}{1+x^2}[/mm] eine polstelle 1. ordnung ist? (weil
> [mm]\frac{e^{-ikx}}{1+x^2}[/mm] = [mm]\frac{e^{-ikx}}{(x+i)(x-i)})[/mm]
> dann hätte ich nämlich eine formel für das residuum
> gefunden
>
> LG,
> HP
>
> Edit: Es müsste demnach gelten:
>
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm] =
> [mm]2\pi[/mm] i [mm]Res_i\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right)[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm] i
> [mm]\frac{ie^{-k}}{2}[/mm] = [mm]-\pi e^{-k}[/mm]
>
> Also:
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (-\pi e^{-k}) =-\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-k}[/mm]
>
> Ist das richtig? Meine Bedenken: Hätte ich das andere
> Residuum genommen, hätte ich ein anderes Integral
> bekommen...
welche Formel benutzt Du denn da? Schau' mal in ![[]](/images/popup.gif) Satz 33.7 (oder auch in Wiki). Ich hab' das nicht zu Ende gedacht, aber z.B. Bemerkung 33.8 und/oder Beispiel 33.9 könnte man versuchen, hier analog zu übertragen.
Jedenfalls wird da sicher [mm] $\red{\sum\limits_{\omega \in \{\pm i\}}}...$ [/mm] ( Das war Quatsch. In Satz 33.7 steht ja, dass man (in dieser Version des Satzes) über Punkte der oberen Halbebene summiert... Bei einem Analogon dieses Satzes vielleicht mit Punkten der unteren Halbebene... also nur [mm] $\sum_{\omega=i}...$ [/mm] (oder bei einem Analogon [mm] $\sum_{\omega=-i}...$) [/mm] wird da auftauchen. Sorry!) bei der Integralberechnung irgendwo auftauchen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne die Fouriertansf. [mm]\widehat{f(k)}[/mm] von f(x) =
> [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> Hallo,
>
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm]
>
> Dieses Integral schreit ja förmlich nach dem Residuuensatz
> (oder doch nicht?)
>
> einen Term wie [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm] kann man ja leicht in
> partialbrüche zerlegen und somit die residuuen ablesen,
> aber wie kommt ich an die residuuen von
> [mm]\frac{e^{-ikx}}{1+x^2}?[/mm]
>
> Mathematica sagt:
> [mm]Res(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2})_{x=-I}=\frac{ie^{-k}}{2}[/mm]
> [mm]Res(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2})_{x=I}=\frac{-ie^{k}}{2}[/mm]
Satz 33.5 2.
Hier ist $f(x)=g(x)/h(x)$ mit [mm] $g(x)=e^{-ikx}$, $h(x)=1+x^2\,$ [/mm] und [mm] $h'(x)=2x\,.$
[/mm]
Also:
[mm] $Res(f,-i)=g(-i)/h'(-i)=\frac{e^{-k}}{-2i}\overset{\frac{1}{-i}=i}{=}\frac{ie^{-k}}{2}\,,$
[/mm]
[mm] $Res(f,+i)=g(i)/h'(i)=\frac{e^{k}}{2i}\overset{\frac{1}{i}=-i}{=}\frac{-ie^{k}}{2}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hi,
danke fürs Nachrechnen der Residuuen.
Ich habe folgende Formel genommen:
hat f in a eine polstelle 1. ordnung:
[mm] Res_af=\stackrel{lim}{z \mapsto a} [/mm] (z-a) f(z)
damit kam ich auch auf die korrekten Ergebnisse.
Trotzdem:
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] Res_i\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right) [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{ie^{-k}}{2} [/mm] = [mm] -\pi e^{-k}
[/mm]
Also:
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (-\pi e^{-k}) =-\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-k}
[/mm]
ABER:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] Res_{-i}\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right) [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{-ie^{k}}{2} [/mm] = [mm] \pi e^{k}
[/mm]
Also:
[mm] \widehat{f(k)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (\pi e^{k}) =\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{k}
[/mm]
und das ist ja ein Widerspurch zu ersten gefunden Fourriertransformation.
Welche von den beiden ist nun korrekt?
LG,
HP
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo HP,
> Hi,
> danke fürs Nachrechnen der Residuuen.
>
> Ich habe folgende Formel genommen:
>
> hat f in a eine polstelle 1. ordnung:
> [mm]Res_af=\stackrel{lim}{z \mapsto a}[/mm] (z-a) f(z)
>
> damit kam ich auch auf die korrekten Ergebnisse.
>
> Trotzdem:
>
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm] =
> [mm]2\pi[/mm] i [mm]Res_i\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right)[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm] i
> [mm]\frac{ie^{-k}}{2}[/mm] = [mm]-\pi e^{-k}[/mm]
>
> Also:
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (-\pi e^{-k}) =-\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-k}[/mm]
>
>
> ABER:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} dx}[/mm] =
> [mm]2\pi[/mm] i [mm]Res_{-i}\left(\frac{e^{-ikx}}{1+x^2} \right)[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm]
> i [mm]\frac{-ie^{k}}{2}[/mm] = [mm]\pi e^{k}[/mm]
> Also:
> [mm]\widehat{f(k)}[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (\pi e^{k}) =\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{k}[/mm]
>
> und das ist ja ein Widerspurch zu ersten gefunden
> Fourriertransformation.
> Welche von den beiden ist nun korrekt?
les' Dir vielleicht nochmal diese Mitteilung durch. Und schau' Dir insbesondere Beispiel 33.8 an.
Schauen wir mal:
Es geht ja nun darum, [mm] $\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-ikx}}{1+x^2}\;dx$ [/mm] zu berechnen.
Sei zunächst $k > [mm] 0\,.$[/mm] Satz 33.7 ist in dieser Form ja nicht direkt anwendbar.
(Hier gilt ja schon [mm] $\lim_{y \to \infty} |f(i*y)|=\lim_{y \to \infty} \left|\frac{e^{k*y}}{1-y^2}\right|=\infty\,,$ [/mm] womit eine Voraussetzung des Satzes verletzt ist.)
Er lässt sich aber dennoch anwenden, und zwar nach einem Zwischenschritt (wir wenden den Satz auf [mm] $g(t)=f(-t)\,$ [/mm] wobei [mm] $f(t)=\frac{e^{-ikt}}{1+t^2}$ [/mm] ist, an):
Wir beachten, dass [mm] $\black{k} [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Mit der Substitution $t:=-z$ gilt dann offenbar
[mm] $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-ikz}}{1+z^2}\;dz=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ikt}}{1+t^2}\;dt\,.$$
[/mm]
Hier ist nun [mm] $g(t)=f(-t)=\frac{e^{ikt}}{1+t^2}\,,$ [/mm] und daher
[mm] $$\text{Res}(g,\pm i)=\frac{e^{\mp k}}{2*(\pm i)}.$$
[/mm]
Interessieren tut uns jetzt nur [mm] $\text{Res}(g,i)=\frac{e^{-k}}{2*i}\,,$ [/mm] weil $-i$ ja nicht im Inneren der oberen Halbebene liegt.
Also gilt:
[mm] $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-ikz}}{1+z^2}\;dz=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ikt}}{1+t^2}\;dt=2\pi [/mm] i [mm] *\frac{e^{-k}}{2*i}=\pi *e^{-k}\,.$$
[/mm]
Jetzt musst Du natürlich noch den Fall [mm] $\black{k} [/mm] < 0$ betrachten. Hier kannst Du nun direkt
[mm] $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ikz}}{1+z^2}\;dz$$
[/mm]
ausrechnen mittels [mm] $2\pi i*\text{Res}(f,i)\,,$ [/mm] wobei [mm] $f(z)=\frac{e^{-ikz}}{1+z^2}\,.$ [/mm]
(Beachte dabei, dass $-i$ ja nicht im Inneren der oberen Halbebene liegt.)
Und den Fall $k=0$ solltest Du separat betrachten.
So, schwere Geburt. Man muss/sollte wirklich genau in die Voraussetzungen des von mir erwähnten Satz 33.7 gucken. 
Gruß,
Marcel
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Hi,
danke für Deine Mühe. Jetzt hats geklappt
LG,
HP
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