Fouriertransformation (Deltaf) < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 30.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Leute,
Ich soll die Fouriertransformierte des folgenden Signals berechnen, komme aber auf was ganz anderes:
f(t) = [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t-2k|}
[/mm]
also ich habe das so gemacht
F(s) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ (\summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t-2k|} )e^{-jwt} dt }
[/mm]
Dann unterscheiden ob t-2k grösser oder kleiner Null ist. Da t und 2k jeweils durchlaufen werden, ist das abhängig von dem k bzw. t. Ich vertausche zuerst Integral und Summenzeichen, dann integriere ich nach t von [2k bis [mm] \infty] [/mm] und andrerseits mit anderem vorzeichen von [mm] [-\infty [/mm] bis 2k].
= [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{2k}*\bruch{e^{-t(1+jw)}}{-(1+jw)} [/mm] mit Grenzen [2k bis [mm] \infty]
[/mm]
+
[mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{-2k}*\bruch{e^{-t(-1+jw)}}{-(-1+jw)} [/mm]
mit Grenzen [mm] [-\infty [/mm] bis 2k]
= [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} \bruch{2*e^{-2kjw} }{w^{2} + 1}
[/mm]
(EDIT: Natürlich hier die Summe über alle k, was ich vergessen habe...)
Die Lösung sagt aber
F(s) = [mm] \bruch{2*\pi}{w^{2} + 1}*\summe_{k = -\infty}^{\infty}[\delta(w-k*\pi)]
[/mm]
Danke&Gruss
Qsxqsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
ist hier schon eine Normierung vorgenommen worden für das Zeitsignal? Irgendwas stimmt hier nicht, der Exponent der e-Funktion ist eine Zeitfunktion, sollte aber dimensionslos sein und es wird was nicht Dimensionsbehaftetes, nämlich das k, davon subtrahiert.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Sa 30.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Infinit,
Nö, es steht nichts weiter...habs nochmals durchgecheckt, ist richtig abgeschrieben.
Es geht ja mehr um die Zahlen bzw. das Theoretische, nicht?
Gruss
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Hallo Qsxqsx,
versuche es mal mit der Faltung:
$f(t)= [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t-2k|} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t|}\*\delta(t-2k) [/mm] = [mm] e^{-|t|}\*\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-2k)$
[/mm]
Kennst Du den Dirac-Kamm?
Ich denke, dass Dir der Hinweis reicht, oder?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 31.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hm ja habe jetzt gerade gesehen das in meiner Theorie der Dirac Kamm kommt und mich reingelesen. Trotzdem: Ist den mein Lösungsweg bzw. mein Ergebnis jetzt auch richtig? Ich bin doch richtig vorgegangen?
Dann müsste aber [mm] \pi*\delta(w [/mm] - [mm] k*\pi) [/mm] = [mm] e^{-jw2k} [/mm] sein??! Seh ich irgendwie nicht...
Gruss
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Hallo Qsxqsx,
> Hm ja habe jetzt gerade gesehen das in meiner Theorie der Dirac Kamm kommt und mich reingelesen. Trotzdem: Ist den mein Lösungsweg bzw. mein Ergebnis jetzt auch richtig? Ich bin doch richtig vorgegangen?
Selbstverständlich! Ich dachte nur, dass Du die Gleichheit der Ergebnisse erkennst, wenn ich
den Dirac-Kamm erwähne.
Der Zusammenhang mit Deiner Lösung ist folgender:
[mm] ($\mathcal [/mm] {F}$ für Fourier-Transformation und [mm] $D_p [/mm] := [mm] \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-pk)$):
[/mm]
[mm] $\mathcal{F}(D_2) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} e^{-jw2k} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}D_\frac{1}{2}$ [/mm] (Die Reihe macht nur Sinn wenn man sie als Reihe von Distributionen auffasst.)
$f(t) = [mm] \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t|}\*\delta(t-2k) [/mm] = [mm] e^{-|t|}\*D_2$
[/mm]
Mit dem Faltungssatz folgt:
[mm] $\mathcal [/mm] {F}(f) = [mm] \mathcal {F}(e^{-|t|})\mathcal{F}(D_2) [/mm] = [mm] (\frac{2}{1+\omega^2}) (\frac{1}{2}D_\frac{1}{2})$
[/mm]
Mit [mm] $D_\frac{1}{2}(\omega) [/mm] = [mm] 2\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\pi [/mm] k) $
ergibt sich insgesamt
[mm] $\mathcal [/mm] {F}(f) = [mm] \frac{2\pi}{1+\omega^2} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-k\pi)$
[/mm]
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 31.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Sehr nett, danke.
Ich wollt irgendwie nicht sehen das es das selbe ist weil ja die Deltafunktion an der Stelle wo sie einen Wert hat theoretisch unendlich ist und [mm] e^{j*a} [/mm] vom Betrag 1 ist und irgendwie hab ich dann hald kurzerhand gedacht das kann nicht sein...
Gruss
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