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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 27.05.2007 | | Autor: | Ajax1979 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe nächste Woche eine mündliche Prüfung in Mathematik bei der untern anderem das Thema Fouriertransformation behandelt werden kann. Rechnungen werden i.A. nicht verlangt, es müssen nur, mathematisch korrekt, Definitionen und "Sinn und Zweck" der mathematischen Anwendung wiedergegeben werden. Genau darin liegt bei der Fouriertransformation mein Problem. Was passiert bei ihr? Wofür bentötige ich sie? Wie ist der Zusammenhang mit der Faltung von Funktionen? Was ist eine Faltung mathematisch gesehen? Fragen über Fragen. Ich wäre dankbar für, für einen Leihen, verständliche Antworten (:
Allen, die eine Anwort verfassen, schonmal meinen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ajax1979,
eine komplette Einführung in die Fouriertransformation kann ich hier beim besten Willen nicht geben, dann wäre wahrscheinlich Deine Prüfung vorbei, aber generell kann man sagen, dass die Fouriertransformation dazu dient, ein Problem, das in einem Koordinatensystem, dem sogenannten Originalraum, auftritt, in den sogenannten Fourierraum zu überführen, in der Hoffnung, dass das Problem dort einfacher zu lösen ist als im Originalraum.
Um die mathematische Handhabung zu vereinfachen, nimmt man diesem Umweg gerne in Kauf.
Für die Beschreibung periodischer Signale kennst Du sicher die Darstellung über die Fourierreihe, nichtperiodische Funktionen transformiert man mit Hilfe der Fouriertransformation.
Anwendungsmöglichkeiten gibt es relativ viele dafür, sie reichen von der Lösung von Randwertproblemen über singuläre Integralgleichungen bis in die Gebiete der Elektrotechnik, in denen es um die Systemtheorie geht.
Ich nehme mal an, dass sich darauf auch Deine Frage zur Faltung bezieht. Die Faltung ist eine spezielle Integralgleichung, mit deren Hilfe man das Ausgangssignal eines linearen Systems bestimmen kann, wenn die Übertragungsfunktion, auch Impulsantwort im Zeitbereich genannt, und die Eingangsfunktion bekannt sind. Das Ausgangssignal ergibt sich durch die relativ unschöne Gleichung
$$ y (t) = [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] h(t- [mm] \tau) x(\tau) [/mm] d [mm] \tau \, [/mm] ,$$ wobei [mm] h(t) [/mm] die Impulsantwort des Systems ist und [mm] x(t) [/mm] die Eingangsfunktion.
Transformiert man diese Gleichung mit Hilfe der Fouriertransformation, so bekommt man eine Beschreibung im Frequenzbereich und die Gleichung vereinfacht sich zu
$$ Y( [mm] \omega) [/mm] = H [mm] (\omega) \cdot [/mm] X( [mm] \omega) [/mm] $$ und die hier angegebenen Größen sind die Fouriertransformierten der Größen im Zeitbereich. Aus dem obigen Integral wurde eine Multiplikation, wenn das keine Vereinfachung ist, dann weiss ich nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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