Fouriertrafo mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:07 So 11.06.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu alle zusammen,
ich wuerde gerne das Integral
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}$
[/mm]
als Teil einer Fourierruecktransformation mit Hilfe des Residuensatzes berechnen (nehmen wir mal an, dass [mm] $r_1>0$).
[/mm]
Die Pole sind gegeben durch die Nullstellen des Nenners, also [mm] $k_1=\pm [/mm] i [mm] k_2$ [/mm] (sind das eigentlich Pole erster Ordnung???), wobei wir fuer den Residuensatz die Pole in der oberen komplexen Halbebene benoetigen, also $+i [mm] k_2$. [/mm] Dann muesste doch gelten, dass
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}=2\pi [/mm] i\ Res(f(z),z=i [mm] k_2)$
[/mm]
mit
[mm] $f(z):=e^{izr_1}\frac{e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{z^2+k_2^2}}$.
[/mm]
Da [mm] $ik_2$ [/mm] ein Pol erster Ordnung ist, gilt
[mm] $Res(f(z),z=ik_2)=\lim\limits_{z\rightarrow ik_2}(z-ik_2)\frac{1}{\sqrt{z^2+k_2^2}}e^{izr_1}e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}=\lim\limits_{z\rightarrow ik_2}\frac{\sqrt{z-ik_2}}{\sqrt{z+k_2}}e^{izr_1}e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}=0$
[/mm]
und damit
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}=0$.
[/mm]
Nun scheint mir das nicht sehr sinnig zu sein! Wo habe ich den Gedankenfehler? Oder stimmt es tatsaechlich, dass das Ergebnis des obigen Integrals null ist?
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 20.06.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Mi 21.06.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
Ich bin immer noch an einer Antwort zu obiger Frage interessiert :)
Gruss,
Chris
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