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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 21.05.2011 | | Autor: | sTaX |
| Aufgabe | | Entwicklen Sie f(x) = x - 1 mit f(x) = f(x + k*2*Pi), k =…,- 2, -1, 0, 1, 2, …, in die Fourier-Reihe einer geraden Funktion. |
Was bedeutet das "in die Fourier-Reihe einer gerade Funktion".
Heißt das, dass [mm] a_k [/mm] oder [mm] b_k [/mm] gleich 0 ist?
Wenn ich die Integrale über -Pi bis Pi ausrechne
[mm] a_0 [/mm] = -2
[mm] a_k [/mm] = [mm] -\frac{2 \Sin{k \pi }}{k \pi }
[/mm]
[mm] b_k [/mm] = (-2 k [mm] \pi \cos{k \pi} [/mm] + 2 [mm] \sin{k \pi})/(k^2 \pi)
[/mm]
sind das meine Ergebnisse...
Stimmt das so? Denn wenn ich die plotten lassen, dann kommt nicht was was soll raus. Vor dem plotten habe ich die natürlich noch in die Fourier-Reihen-Formel eingesetzt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=457212 und hier gestellt
http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangsprobleme-mit-Fourier-und-x-1
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Hallo sTaX,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entwicklen Sie f(x) = x - 1 mit f(x) = f(x + k*2*Pi), k
> =…,- 2, -1, 0, 1, 2, …, in die Fourier-Reihe einer
> geraden Funktion.
> Was bedeutet das "in die Fourier-Reihe einer gerade
> Funktion".
>
> Heißt das, dass [mm]a_k[/mm] oder [mm]b_k[/mm] gleich 0 ist?
>
> Wenn ich die Integrale über -Pi bis Pi ausrechne
>
> [mm]a_0[/mm] = -2
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]-\frac{2 \Sin{k \pi }}{k \pi }[/mm]
>
> [mm]b_k[/mm] = (-2 k [mm]\pi \cos{k \pi}[/mm] + 2 [mm]\sin{k \pi})/(k^2 \pi)[/mm]
>
> sind das meine Ergebnisse...
Die Koeffizienten stimmen nicht.
>
> Stimmt das so? Denn wenn ich die plotten lassen, dann kommt
> nicht was was soll raus. Vor dem plotten habe ich die
> natürlich noch in die Fourier-Reihen-Formel eingesetzt.
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=457212 und
> hier gestellt
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangsprobleme-mit-Fourier-und-x-1
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 21.05.2011 | | Autor: | sTaX |
Cool, endlich antwortet mal jemand :)
Ich habe es jetzt nochmal Schritt für Schritt gerechnet und nun habe ich etwas anderes raus:
[mm] a_0 [/mm] = [mm] 1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{x-1 dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*(\frac{\pi^2}{2}-\pi-(\frac{(-\pi)^2}{2}+\pi)) [/mm] = -2
[mm] a_k [/mm] = [mm] 1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{(x-1)*\cos{k*x} dx}=
[/mm]
[mm] 1/\pi*(((\pi-1)*-\frac{\sin{k\pi}}{k}-((-\pi-1)*-\frac{\sin{k-\pi}}{k}))-\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos{k*x} dx}) [/mm] =
0
[mm] b_k [/mm] = = [mm] 1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{(x-1)*\sin{k*x} dx}=
[/mm]
[mm] 1/\pi*(((\pi-1)*-\frac{\cos{k\pi}}{k}-((-\pi-1)*-\frac{\cos{k-\pi}}{k}))-\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin{k*x} dx}) [/mm] =
[mm] 1/\pi*(\frac{2*\pi*\cos{kx}}{k}+\frac{\cos{kx}}{k})
[/mm]
Sieht etwas konfus aus. Bei integrieren habe ich eine partielle Integration mit u=(x-1) und v'=sin(kx) bzw v'=cos(kx) gemacht.
Stimmt das soweit?
Edit:
Beim Zeichnen von [mm] -1*\sum\limits_{k=1}^5 1/\pi*(\frac{2*\pi*\cos{kx}}{k}+\frac{\cos{kx}}{k})*\sin{kx}
[/mm]
ist mir aufgefallen, dass die Reihe spiegelverkehrt ist und durch 0 geht (dürfte ja eigentlich nicht durch 0 gehen?!)
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Hallo sTaX,
> Cool, endlich antwortet mal jemand :)
> Ich habe es jetzt nochmal Schritt für Schritt gerechnet
> und nun habe ich etwas anderes raus:
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{x-1 dx}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\pi}*(\frac{\pi^2}{2}-\pi-(\frac{(-\pi)^2}{2}+\pi))[/mm]
> = -2
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{(x-1)*\cos{k*x} dx}=[/mm]
>
> [mm]1/\pi*(((\pi-1)*-\frac{\sin{k\pi}}{k}-((-\pi-1)*-\frac{\sin{k-\pi}}{k}))-\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos{k*x} dx})[/mm]
> =
> 0
>
> [mm]b_k[/mm] = = [mm]1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{(x-1)*\sin{k*x} dx}=[/mm]
>
> [mm]1/\pi*(((\pi-1)*-\frac{\cos{k\pi}}{k}-((-\pi-1)*-\frac{\cos{k-\pi}}{k}))-\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin{k*x} dx})[/mm]
> =
> [mm]1/\pi*(\frac{2*\pi*\cos{kx}}{k}+\frac{\cos{kx}}{k})[/mm]
>
> Sieht etwas konfus aus. Bei integrieren habe ich eine
> partielle Integration mit u=(x-1) und v'=sin(kx) bzw
> v'=cos(kx) gemacht.
Hier musst Du doch als Integrationsintevall [mm]\left[0,2\pi\right][/mm] wählen.
>
> Stimmt das soweit?
>
> Edit:
> Beim Zeichnen von [mm]-1*\sum\limits_{k=1}^5 1/\pi*(\frac{2*\pi*\cos{kx}}{k}+\frac{\cos{kx}}{k})*\sin{kx}[/mm]
>
> ist mir aufgefallen, dass die Reihe spiegelverkehrt ist und
> durch 0 geht (dürfte ja eigentlich nicht durch 0 gehen?!)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 21.05.2011 | | Autor: | sTaX |
Hmm, okay. Aber warum von 0 bis [mm] 2\pi?
[/mm]
Sieht man das anhand der Aufgabenstellung f(x)=f(x+2*pi*k)?
Neue Berechnung:
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1) dx} [/mm] = [mm] -2+2*\pi
[/mm]
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1)*\cos{kx} dx}=\frac{1}{\pi}*(-\frac{(2*\pi-1)*\sin{2\pi*k}}{k}-\frac{\sin{2\pi*k}}{k}) [/mm] = [mm] \frac{2*\sin{2\pi*k}}{k}
[/mm]
[mm] b_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1)*\sin{kx} dx}=\frac{1}{\pi}*(\frac{(2*\pi-1)*\cos{2\pi*k}}{k}+\frac{1}{k}-\frac{2\sin{\pi*k}^2}{k}) [/mm] = [mm] \frac{2*\pi*\cos{2k\pi}}{k}
[/mm]
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Hallo sTaX,
> Hmm, okay. Aber warum von 0 bis [mm]2\pi?[/mm]
Weil die Funktion f auf diesem Intervall definiert ist.
(Sprich so in der Aufgabe definiert ist)
>
> Sieht man das anhand der Aufgabenstellung
> f(x)=f(x+2*pi*k)?
>
> Neue Berechnung:
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1) dx}[/mm] =
> [mm]-2+2*\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1)*\cos{kx} dx}=\frac{1}{\pi}*(-\frac{(2*\pi-1)*\sin{2\pi*k}}{k}-\frac{\sin{2\pi*k}}{k})[/mm]
> = [mm]\frac{2*\sin{2\pi*k}}{k}[/mm]
Hier muss als Endergebnis stehen:
[mm]\frac{\blue{\left(2\pi-1\right)}*\sin{2\pi*k}}{\blue{\pi}*k}[/mm]
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{(x-1)*\sin{kx} dx}=\frac{1}{\pi}*(\frac{(2*\pi-1)*\cos{2\pi*k}}{k}+\frac{1}{k}-\frac{2\sin{\pi*k}^2}{k})[/mm]
> = [mm]\frac{2*\pi*\cos{2k\pi}}{k}[/mm]
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\blue{-}\frac{2*\pi*\cos{2k\pi}}{\pi*k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 21.05.2011 | | Autor: | sTaX |
Wow, vielen Dank!
Ist das Endergebnis dann so richtig:
[mm] (-2+2\pi)/2+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(2\pi-1)*\cos{2k\pi}}{k\pi}*\cos{kx}+\frac{-2\pi\cos{2k\pi}}{k\pi}*Sin{kx}
[/mm]
In der Aufgabenstellung steht ja drinne: in die Fourier-Reihe einer geraden Funktion
Hat das mit der geraden Funktion irgendwas zu bedeuten? Würde es ein Unterschied beim rechnen und Endergebnis geben, wenn der ungerade steht?
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Hallo sTaX,
> Wow, vielen Dank!
>
> Ist das Endergebnis dann so richtig:
> [mm](-2+2\pi)/2+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(2\pi-1)*\cos{2k\pi}}{k\pi}*\cos{kx}+\frac{-2\pi\cos{2k\pi}}{k\pi}*Sin{kx}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm](-2+2\pi)/2+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(2\pi-1)*\blue{\sin}{2k\pi}}{k\pi}*\cos{kx}+\frac{-2\pi\cos{2k\pi}}{k\pi}*Sin{kx}[/mm]
>
> In der Aufgabenstellung steht ja drinne: in die
> Fourier-Reihe einer geraden Funktion
>
Wenn die Funktion gerade ist, dann gibt es nur cos-Glieder.
Und das ist hier offensichtlich nicht der Fall.
>
> Hat das mit der geraden Funktion irgendwas zu bedeuten?
> Würde es ein Unterschied beim rechnen und Endergebnis
> geben, wenn der ungerade steht?
Die Rechnung reduziert sich dann auf eine Integralauswertung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 21.05.2011 | | Autor: | sTaX |
Oh, war nen kleiner Vertipper. Bei den ganzen cos und sin...
Das mit dem gerade und keine sin-Glieder ist mir klar.
Allerdings frage ich mich dann warum ich in meiner Lösung (die ja für die Aufgabenstellung stimmt?!) beide Glieder habe und brauche.
Da x-1 ja weder gerade noch ungerade ist, brauche ich ja cos und sin's...
Laut der Aufgabenstellung dürfte ich dann keine Sin-Glieder haben...
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Hallo sTaX,
> Oh, war nen kleiner Vertipper. Bei den ganzen cos und
> sin...
>
> Das mit dem gerade und keine sin-Glieder ist mir klar.
>
> Allerdings frage ich mich dann warum ich in meiner Lösung
> (die ja für die Aufgabenstellung stimmt?!) beide Glieder
> habe und brauche.
Du hast in dieser Lösung nur sin-Glieder plus eine Konstante.
>
> Da x-1 ja weder gerade noch ungerade ist, brauche ich ja
> cos und sin's...
>
> Laut der Aufgabenstellung dürfte ich dann keine
> Sin-Glieder haben...
Was die sich dabei gedacht haben, als die "in eine Fourierreihe einer geraden Funktion" in die Aufgabe mit rein geschrieben haben, kann ich Dir leider auch nicht sagen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 22.05.2011 | | Autor: | sTaX |
Okay, Danke.
Ich habe noch ein Verständnis Problem was
f(x) = [mm] f(x+k2\pi) [/mm] bedeutet.
In dieser Aufgabe bedeutet dass, das Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] ist?
Ich habe auch noch andere Aufgaben z.B.
[mm] (2\pi-Periodiztät)
[/mm]
f(x) = -2x, [mm] x\in[-\pi,\pi] [/mm] und [mm] f(x)=f(x+n2\pi) n\in\IZ
[/mm]
Was beudetet dies hier? Denn das Intervall ist ja mit [mm] [-\pi,\pi] [/mm] bereits gegeben.
Oder hier (2q-Periodizität):
f(x) = |x| , [mm] x\in[-2,2] [/mm] und f(x) = f(x+4n), [mm] n\in \IZ
[/mm]
Ich glaube das hat irgendwas mit der Kreisfrequenz zu tun? Aber was genau? Brauche ich das für die Berechnung, wenn die Periodizität und [mm] x\in[...,...] [/mm] geben ist?
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Hallo sTaX,
> Okay, Danke.
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> Ich habe noch ein Verständnis Problem was
> f(x) = [mm]f(x+k2\pi)[/mm] bedeutet.
>
Dadurch wird die Periodizität der Funktion ausgedrückt.
Die Funktion ist hier periodisch mit der Periode [mm]2\pi[/mm].
> In dieser Aufgabe bedeutet dass, das Intervall [mm][0,2\pi][/mm]
> ist?
Nein, siehe oben.
>
> Ich habe auch noch andere Aufgaben z.B.
>
> [mm](2\pi-Periodiztät)[/mm]
> f(x) = -2x, [mm]x\in[-\pi,\pi][/mm] und [mm]f(x)=f(x+n2\pi) n\in\IZ[/mm]
>
> Was beudetet dies hier? Denn das Intervall ist ja mit
> [mm][-\pi,\pi][/mm] bereits gegeben.
>
Die Funktion ist [mm]2\pi[/mm] periodisch und das
Integrationsintervall ist [mm]\left[-\pi,\pi\right][/mm]
>
> Oder hier (2q-Periodizität):
> f(x) = |x| , [mm]x\in[-2,2][/mm] und f(x) = f(x+4n), [mm]n\in \IZ[/mm]
Die Funktion ist periodisch mit der Periode 4 und das
Integrationsintervall ist [mm]\left[-2,2\right][/mm]
>
> Ich glaube das hat irgendwas mit der Kreisfrequenz zu tun?
> Aber was genau? Brauche ich das für die Berechnung, wenn
> die Periodizität und [mm]x\in[...,...][/mm] geben ist?
Ist die Periode von [mm]2\pi[/mm] verschieden,
so hast Du andere Basisfunktionen:
[mm]\sin\left(k\omega x\right), \ \cos\left(k\omega x\right), \ k \in \IN[/mm]
,wobei [mm]\omega=\bruch{2\pi}{T}[/mm] und
T die Periode der gegebenen Funktion ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 22.05.2011 | | Autor: | sTaX |
| Aufgabe | Die folgende Funktion ist in eine Fourier-Reihe mit gleicher Periode [0,p] zu entwickeln:
f(x) = x für 0<=x<=1
f(x) = 2-x für 1<=x<=2 und f(x)=f(x+2x) mit n in Z |
Ah okay, jetzt ist es schon deutlich klarer.
Bei der Aufgabe habe ich eine Frage ob ich das richtig verstanden habe.
Die Funktion geht von 0 "zu" 1 dann wieder auf 0 und das wiederholt sich immer so?! (siehe Anhang)
Wenn ich das jetzt integrieren möchte, dann sind die Integrationsintervall [0,2]?
Nochmal vielen dank für deine super und immer schneller Hilfe!
Edit:
Hab das Bild ganz vergessen:
http://www.imagebanana.com/view/2efa3x60/mathe01.jpg
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Hallo sTaX,
> Die folgende Funktion ist in eine Fourier-Reihe mit
> gleicher Periode [0,p] zu entwickeln:
> f(x) = x für 0<=x<=1
> f(x) = 2-x für 1<=x<=2 und f(x)=f(x+2x) mit n in Z
>
> Ah okay, jetzt ist es schon deutlich klarer.
>
> Bei der Aufgabe habe ich eine Frage ob ich das richtig
> verstanden habe.
>
> Die Funktion geht von 0 "zu" 1 dann wieder auf 0 und das
> wiederholt sich immer so?! (siehe Anhang)
Ja.
>
> Wenn ich das jetzt integrieren möchte, dann sind die
> Integrationsintervall [0,2]?
>
Richtig.
>
> Nochmal vielen dank für deine super und immer schneller
> Hilfe!
>
> Edit:
> Hab das Bild ganz vergessen:
> http://www.imagebanana.com/view/2efa3x60/mathe01.jpg
Gruss
MathePower
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