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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Fourierreihe der [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] die gegeben ist durch f(t)=|t| für t [mm] \in ]-\pi, \pi]. [/mm] |
hi,
ich soll die fourierreihe zu der obigen funktion berechnen.
1. frage: f is ja weder gerade noch ungerade, aber im tutorium hatte wir mal, dass f gerade gemacht werden kann, indem man hier einfach das obere intervallende aus dem intervall nimmt, also: [mm] ]-\pi, \pi[. [/mm] somit wär f gerade und man müsste nur die [mm] a_{k} [/mm] berechnen. geht das hier?
2. frage: ob ich nun nur [mm] a_{k} [/mm] oda auch [mm] b_{k} [/mm] berechnen soll...im endeffekt komm ich immer auf ein integral folgender form, hier zb für [mm] a_{k}:
[/mm]
[mm] \bruch{4}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{|t|*cos(kt) dt} [/mm] mit [mm] T=2\pi, \omega [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{T} [/mm] = 1.
also muss ich wohl partielle integration anwenden:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{|t|*cos(kt) dt}=\bruch{2}{\pi} ([\bruch{1}{k}*sin(kt)*|t|] [/mm] (von 0 bis [mm] \pi) \pm \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt) dt}) [/mm]
[mm] \pm [/mm] weil je nach dem, ob t pos. oda neg. is, |t| = [mm] \pm [/mm] t => [mm] t'=\pm1 [/mm] oder?
nun hab ich wieder ein integral, dass ich mit partieller integration berechnen muss, und das geht [mm] \infty [/mm] lange so weiter... substituieren hab ich auch versucht, aber ich komm da nich wirklich aufn grünen zweig, der betrag stört mich da sehr. muss ja dauernd fallunterscheidungen machen :/
wär nett, wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte...
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Hallo Reicheinstein,
> Berechnen Sie die Fourierreihe der [mm]2\pi-periodischen[/mm]
> Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] die gegeben ist durch f(t)=|t| für
> t [mm]\in ]-\pi, \pi].[/mm]
> hi,
>
> ich soll die fourierreihe zu der obigen funktion berechnen.
>
> 1. frage: f is ja weder gerade noch ungerade, aber im
> tutorium hatte wir mal, dass f gerade gemacht werden kann,
> indem man hier einfach das obere intervallende aus dem
> intervall nimmt, also: [mm]]-\pi, \pi[.[/mm] somit wär f gerade und
> man müsste nur die [mm]a_{k}[/mm] berechnen. geht das hier?
>
> 2. frage: ob ich nun nur [mm]a_{k}[/mm] oda auch [mm]b_{k}[/mm] berechnen
> soll...im endeffekt komm ich immer auf ein integral
> folgender form, hier zb für [mm]a_{k}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{4}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{|t|*cos(kt) dt}[/mm]
> mit [mm]T=2\pi, \omega[/mm] = [mm]\bruch{2\pi}{T}[/mm] = 1.
>
> also muss ich wohl partielle integration anwenden:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{|t|*cos(kt) dt}=\bruch{2}{\pi} ([\bruch{1}{k}*sin(kt)*|t|][/mm]
> (von 0 bis [mm]\pi) \pm \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt) dt})[/mm]
> [mm]\pm[/mm] weil je nach dem, ob t pos. oda neg. is, |t| = [mm]\pm[/mm] t =>
> [mm]t'=\pm1[/mm] oder?
Setzt hier an [mm]\vmat{t}=\alpha*t[/mm]
mit [mm]\alpha=\left\{\begin{matrix} 1 & t \ge 0 \\ -1 & t < 0 \end{matrix}\right[/mm]
>
> nun hab ich wieder ein integral, dass ich mit partieller
> integration berechnen muss, und das geht [mm]\infty[/mm] lange so
> weiter... substituieren hab ich auch versucht, aber ich
> komm da nich wirklich aufn grünen zweig, der betrag stört
> mich da sehr. muss ja dauernd fallunterscheidungen machen
> :/
Du hast da kein partielles Integral mehr: [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k} \sin\left(kt\right) \ dt}[/mm]
Da steht kein t mehr.
> wär nett, wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte...
Gruß
MathePower
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ah, na klar. war wohl zu blind, danke!
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