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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 15.09.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR->\IR [/mm] sei gleich dem Betrag der Sinusfunktion, d.h. f(x)= für alle [mm] x\varepsilon\IR
[/mm]
a) Skizzieren Sie die Funktion. Welche Periode hat Sie?
Ist sie gerade oder ungerade?
b) BEstimmen Sie die Fourrierreihen-Koeffizienten. |
Moin,
hab die Funktion skizziert. Ich denke, dass die Funktion [mm] \pi [/mm] -periodisch ist.
Symmetrie zur Y-Achse -> Alle Sinus-Koeffizienten sind Null.
zählt ja auch f(x)=f(-x)
So jetzt will ich a0 Berechnen:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)| dx}
[/mm]
Das müsste so funktionieren:
[mm] ....=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{sin(x) dx})
[/mm]
Jetzt muss ich die anderen Koeffozienten bestimmen:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)|*cos(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(n*x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{sin(x)*cos(n*x) dx})
[/mm]
Wäre der Ansatz so okay?
war durch den betrag ein bisschen verwirrt, denke aber, dass so funktionieren müsste
lg xPae
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Hallo xPae,
> Die Funktion [mm]f:\IR->\IR[/mm] sei gleich dem Betrag der
> Sinusfunktion, d.h. f(x)= für alle [mm]x\varepsilon\IR[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie die Funktion. Welche Periode hat Sie?
> Ist sie gerade oder ungerade?
>
> b) BEstimmen Sie die Fourrierreihen-Koeffizienten.
> Moin,
>
> hab die Funktion skizziert. Ich denke, dass die Funktion
> [mm]\pi[/mm] -periodisch ist.
Ja, das ist so.
> Symmetrie zur Y-Achse -> Alle Sinus-Koeffizienten sind
> Null.
> zählt ja auch f(x)=f(-x)
>
> So jetzt will ich a0 Berechnen:
>
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)| dx}[/mm]
>
> Das müsste so funktionieren:
>
> [mm]....=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{sin(x) dx})[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)| dx}=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{\red{-}sin(x) dx})[/mm]
Da der Sinus im Intervall [mm]\left[\pi, \ 2\pi\right][/mm] kleiner gleich Null ist.
>
>
> Jetzt muss ich die anderen Koeffozienten bestimmen:
>
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)|*cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{sin(x)*cos(x) dx})[/mm]
>
Auch hier dann entsprechend:
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{|sin(x)|*cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2*\pi}{\red{-}sin(x)*cos(x) dx})[/mm]
>
> Wäre der Ansatz so okay?
> war durch den betrag ein bisschen verwirrt, denke aber,
> dass so funktionieren müsste
> lg xPae
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 15.09.2009 | | Autor: | xPae |
Moin,
du hast natürlich recht, ich hatte allerdings das "n" beim cosinus vergessen.
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)|\cdot{}cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{-sin(x)\cdot{}cos(x) dx})
[/mm]
1te Nebenrechnung:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(n*x) dx}=...
[/mm]
u=cos(n*x) -> u'(x)=-n*sin(x)
v'=sin(x) -> v=-cos(x)
[mm] ...=[cos(n*x)*cos(x)]-\integral_{0}^{\pi}{n*sin(n*x)*cos(x) dx}
[/mm]
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das weiter integrieren soll, aber müsste das hintere integral nicht Null ergeben?
Vllt wäre es trotzdem cool, wie ich soetwas integriere.
Danke
xPae
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Hallo xPae,
> Moin,
>
>
> du hast natürlich recht, ich hatte allerdings das "n" beim
> cosinus vergessen.
>
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)|\cdot{}cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{-sin(x)\cdot{}cos(x) dx})[/mm]
>
>
> 1te Nebenrechnung:
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(n*x) dx}=...[/mm]
>
> u=cos(n*x) -> u'(x)=-n*sin(x)
>
> v'=sin(x) -> v=-cos(x)
>
> [mm]...=[cos(n*x)*cos(x)]-\integral_{0}^{\pi}{n*sin(n*x)*cos(x) dx}[/mm]
>
>
> Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das weiter
> integrieren soll, aber müsste das hintere integral nicht
> Null ergeben?
>
Diesen trigonmetrischen Ausdruch
[mm]sin(x)\cdot{}cos(n*x)[/mm]
kannst Du auch als
[mm]\alpha*\left( \ \sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right) \ \right)[/mm]
schreiben.
Das läßt sich dann leichter integrieren.
>
> Vllt wäre es trotzdem cool, wie ich soetwas integriere.
>
>
> Danke
> xPae
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 17.09.2009 | | Autor: | xPae |
Moin,
hab leider Schwierigkeiten bekommen beim [mm] a_{n} [/mm] ausrechnen:
[mm] a_{0}:
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)| dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{\red{-}sin(x) dx})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\pi}*([-cos(x)]_{0}^{\pi}+[cos(x)]_{\pi}^{2*\pi})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}*((1+1)+(1+1))=\bruch{4}{\pi}
[/mm]
Berechnung von [mm] a_{n}:
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)|\cdot{}cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{\red{-}sin(x)\cdot{}cos(x) dx})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}*([\bruch{-cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*x)}{2*(1-n)}]_{0}^{\pi}+[\bruch{cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*x)}{2*(1-n)}]_{\pi}^{2*\pi})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-cos((n+1)*0)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*0)}{(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}]
[/mm]
Halt 1/2 ausgeklammert. das mit x=0 kann leicht berechnet werden:
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-1+n}{(n+1)(1-n)}-\bruch{(n+1)}{(1-n)*(n+1)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{cos((n+1)\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]]]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]]]
[/mm]
So ab jetzt müsste ich doch eine Fallunterscheidung machen, also n gerade bzw ungerade.
n gerade:
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(1-n)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{1-n}{(1-n)(n+1)}-\bruch{n+1}{(n+1)(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{(1-n)}{(n+1)(1-n)}+\bruch{(n+1)}{(1-n)(n+1)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}[*\bruch{-4n}{(n+1)(1-n)}+\bruch{2}{(n+1)(1-n)}+\bruch{(2)}{(n+1)(1-n)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}[*\bruch{-4n+4}{(n+1)(1-n)}]=\bruch{-2*n+2}{\pi*(n+1)(1-n)}
[/mm]
Ich hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe.
n ungerade (außer n=-1, sonst würde man durch Null teilen)
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]]]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(1-n)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{2}{(n+1)(1-n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]+\bruch{4}{(n+1)(1-n)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*[\bruch{-4}{(1-n)(n+1)}+\bruch{4}{(n+1)(1-n)}]
[/mm]
=0
Ähm kann das stimmen? =) Hoffe durch die vielen kleine Schritte kann man das besser nachvollziehen
VIELEN DANK!
lg xPae
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Hallo xPae,
> Moin,
>
>
> hab leider Schwierigkeiten bekommen beim [mm]a_{n}[/mm] ausrechnen:
>
> [mm]a_{0}:[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)| dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{\red{-}sin(x) dx})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\pi}*([-cos(x)]_{0}^{\pi}+[cos(x)]_{\pi}^{2*\pi})[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\pi}*((1+1)+(1+1))=\bruch{4}{\pi}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]a_{n}:[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{|sin(x)|\cdot{}cos(x) dx}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\cdot{}cos(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\cdot{}\pi}{\red{-}sin(x)\cdot{}cos(x) dx})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\pi}*([\bruch{-cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*x)}{2*(1-n)}]_{0}^{\pi}+[\bruch{cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*x)}{2*(1-n)}]_{\pi}^{2*\pi})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-cos((n+1)*0)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*0)}{(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}][/mm]
Es gilt:
[mm]\sin\left(x\right)*\cos\left(n*x\right)=\bruch{1}{2}*\left( \ \sin\left( \ \left(n+1\right)*x \ \right) - \sin\left( \ \left(n-1\right)*x \ \right) \right)[/mm]
Stammfunktion für die rechte Seite ist:
[mm]\bruch{1}{2}*\left( \ \bruch{\cos\left( \ \left(n-1\right)*x \ \right)}{n-1} - \bruch{\cos\left( \ \left(n+1\right)*x \ \right)}{n+1} \right)[/mm]
für [mm]n \not= 1[/mm]
Das heißt, hier steht dann für [mm]n \not= 1[/mm] die Auswertung von
[mm]=\bruch{1}{\pi}*([\bruch{-cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}+\bruch{cos((n-1)*x)}{2*(n-1)}]_{0}^{\pi}+[\bruch{cos((n+1)*x)}{2*(n+1)}-\bruch{cos((n-1)*x)}{2*(n-1)}]_{\pi}^{2*\pi})[/mm]
>
> Halt 1/2 ausgeklammert. das mit x=0 kann leicht berechnet
> werden:
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-1+n}{(n+1)(1-n)}-\bruch{(n+1)}{(1-n)*(n+1)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[....]_{\pi}^{2*\pi}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{cos((n+1)\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]]][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]]][/mm]
>
> So ab jetzt müsste ich doch eine Fallunterscheidung
> machen, also n gerade bzw ungerade.
>
> n gerade:
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(1-n)}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{1-n}{(1-n)(n+1)}-\bruch{n+1}{(n+1)(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{(1-n)}{(n+1)(1-n)}+\bruch{(n+1)}{(1-n)(n+1)}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}[*\bruch{-4n}{(n+1)(1-n)}+\bruch{2}{(n+1)(1-n)}+\bruch{(2)}{(n+1)(1-n)}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}[*\bruch{-4n+4}{(n+1)(1-n)}]=\bruch{-2*n+2}{\pi*(n+1)(1-n)}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe.
>
> n ungerade (außer n=-1, sonst würde man durch Null
> teilen)
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-cos((n+1)*\pi)}{(n+1)}-\bruch{cos((1-n)*\pi)}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+[[\bruch{cos((n+1)*2*\pi)}{(n+1)}+\bruch{cos((1-n)*2*\pi)}{(1-n)}]]][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(1-n)}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]-[\bruch{-2}{(n+1)(1-n)}]+\bruch{2}{(n+1)(1-n)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[2*[\bruch{-1}{(n+1)}-\bruch{1}{(1-n)}]+\bruch{4}{(n+1)(1-n)}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*[\bruch{-4}{(1-n)(n+1)}+\bruch{4}{(n+1)(1-n)}][/mm]
>
> =0
>
>
> Ähm kann das stimmen? =) Hoffe durch die vielen kleine
> Schritte kann man das besser nachvollziehen
>
> VIELEN DANK!
>
> lg xPae
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Fr 18.09.2009 | | Autor: | xPae |
Guten Abend,
endlich scheint es ein Ende zu nehmen :)
Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt weiss allerdings nicht, wie ich das aufschreiben kann.
Habe für
n gerade:
[mm] a_{n}=\bruch{-4}{\pi*(n+1)*(n-1)} [/mm]
und
n ungerade
[mm] n\not=1
[/mm]
[mm] a_{n}=0
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{2}{\pi}+\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{-4}{\pi*(n+1)*(n-1)}*cos(n*x) [/mm]
So hier sind jetzt ja noch 3,5,7 etc drin.
Wie bekomme ich die da heraus?
Kann man einfach dazuschreiben
n nur gerade?
lg xpae
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 18.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Ich bin j alange aus dem Geschäft heraus. Aber geht das nicht deutlich einfacher? Du hast eine Funktion auf dem Intervall [mm] [0;\pi], [/mm] die danach periodisch weiter geht. ...
Um den Teil, wo der Sinus durch den Betrag hochgeklappt wird, braucht man sich doch keine Gedanken zu machen, wenn man von vorneherein das kleinere Intervall nimmt.
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Hallo xPae,
> Guten Abend,
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> endlich scheint es ein Ende zu nehmen :)
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> Skizze
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Jetzt weiss allerdings nicht, wie ich das aufschreiben
> kann.
>
> Habe für
>
> n gerade:
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> [mm]a_{n}=\bruch{-4}{\pi*(n+1)*(n-1)}[/mm]
>
> und
>
> n ungerade
> [mm]n\not=1[/mm]
>
> [mm]a_{n}=0[/mm]
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> [mm]f(x)=\bruch{2}{\pi}+\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{-4}{\pi*(n+1)*(n-1)}*cos(n*x)[/mm]
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> So hier sind jetzt ja noch 3,5,7 etc drin.
> Wie bekomme ich die da heraus?
>
> Kann man einfach dazuschreiben
> n nur gerade?
Da Du jetzt weisst, das n gerade ist, kannst Du
[mm]n=2k, \ k \in \IN[/mm] setzen.
Dann ist
[mm]f(x)=\bruch{2}{\pi}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-4}{\pi*(2*k+1)*(2*k-1)}*cos(2*k*x)[/mm]
>
> lg xpae
Gruss
MathePower
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